Question

20．如图1所示，在同一竖直平面内有两个上下正对着的相同半圆形光滑轨道，半径为R，它们之间的距离为x且可调，在最低点B处与最高点A处各放一个压力传感器．一质量为m的小球在两轨道间运动，小球经过最低点B时压力传感器示数为20mg（在后面的实验中总保持该示数不变），g为重力加速度，不计空气阻力．
（1）求小球经过最低点B时的速度大小．
（2）当调节x=R时，求小球经过最高点A处时压力传感器的示数．
（3）在保证小球能经过最高点A的情况下改变x，两压力传感器示数差的绝对值△F也随之改变．试通过计算在图2坐标系中画出$\frac{△F}{mg}$随$\frac{x}{R}$变化的图象．

Answer 1

分析 （1）对小球在B点时受力分析可得B点速度；
（2）由动能定理可求出A处球的速度，进而受力分析求作用力；
（3）画出$\frac{△F}{mg}$随$\frac{x}{R}$变化的图象必须先找出两者关系，参照（1）（2）通过动能定理求速度和受力分析求作用力．

解答 解：（1）对小球在B点时受力分析可得：
$20mg-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$解得${v}_{B}=\sqrt{19gR}$；
（2）对小球从B到A的运动过程用动能定理：
$-3mgR=\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$        ①
设小球在A点受到支持力为F，对小球在A点时受力分析可得：
$F+mg=m\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$        ②
联立①②可得F=12mg．
由牛顿第三定律可得：
小球经过最高点A处时压力传感器的示数为12mg．
（3）若恰好到A点，即压力为0，对小球在A点受力分析可得：$mg=m\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$        ③
对小球从B到A的运动过程用动能定理：
$-mg（x+2R）=\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$        ④
联立③④可得x=7R．即x不能超过7R．
设小球在A、B点受到轨道弹力分别为F_A、F_B．
对小球在A点时受力分析可得：
$mg+{F}_{A}=m\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
对小球在B点时受力分析可得：
${F}_{B}-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
所以
$△F={F}_{B}-{F}_{A}=（m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}+mg）-（m\frac{{v}_{A}^{2}}{R}-mg）$
=$m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}-m\frac{{v}_{A}^{2}}{R}+2mg$        ⑤
对小球从A到B的运动过程用动能定理：
$mg（x+2R）=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$        ⑥
联立⑤⑥可得：
$\frac{△F}{mg}=\frac{2x}{R}+6$
$\frac{△F}{mg}$随$\frac{x}{R}$变化的图象如右图所示．
答：（1）求小球经过最低点B时的速度${v}_{B}=\sqrt{19gR}$．
（2）当调节x=R时，小球经过最高点A处时压力传感器的示数为12mg．
（3）在保证小球能经过最高点A的情况下改变x，$\frac{△F}{mg}$随$\frac{x}{R}$变化的图象如右图所示．

点评 圆周运动中某点速度可以通过动能定理求解，对该点受力分析可以求解出球对轨道的作用力．