Question

15．光的水平轨道AB与半径为R的光滑的半圆形轨道BCD相切于B点，其中圆轨道在竖直平面内，B点的最低点，D点为最高点，一质量为m的小球以一定的初速度沿AB射入，恰能通过最高点，试求：
（1）小球到达最高点D的速度大小
（2）小球对B点的压力大小．

Answer 1

分析 小球恰能通过最高点时，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球经最高点时的速度，根据动能定理求出B点速度，小球经过B点后的瞬间由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，据此求解小球对B点的压力大小．

解答 解：（1）小球恰能通过最高点时，由重力提供向心力，则有：
mg=m$\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$，
解得：v_D=$\sqrt{gR}$；
（2）从B到D的过程中，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=-mg•2R$，
在B点，根据向心力公式得：
F-mg=m$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
联立解得：F=6mg
根据牛顿第三定律可知，小球对B点的压力大小为6mg．
答：（1）小球到达最高点D的速度大小为$\sqrt{gR}$；
（2）小球对B点的压力大小为6mg．

点评 动能定理与向心力知识综合是常见的题型．小球恰好通过最高点时速度与轻绳模型类似，轨道对小球恰好没有作用力，由重力提供向心力，临界速度v=$\sqrt{gR}$，做选择题时可直接运用．