Question

【题目】如图所示的xOy坐标系中，y轴右侧空间存在范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于xOy平面向里．P点的坐标为（﹣6L，0），Q1、Q2两点的坐标分别为（0，3L），（0，﹣3L）．坐标为（﹣L，0）处的C点固定一平行于y轴放置一足够长的绝缘弹性挡板，带电粒子与弹性绝缘挡板碰撞前后，沿y方向分速度不变，沿x方向分速度反向，大小不变．带负电的粒子质量为m，电量为q，不计粒子所受重力．若粒子在P点沿PQ1方向进入磁场，经磁场运动后，求：

（1）只与挡板碰撞一次并能回到P点的粒子初速度大小；
（2）粒子能否经过坐标原点O之后再回到P点；
（3）只与挡板碰撞三次并能回到P点的粒子初速度大小以及这种情况下挡板的长度至少为多少．

Answer 1

【答案】
（1）解：粒子与挡板只碰撞一次，粒子运动的轨迹如图一所示，粒子运动的轨道半径为R，碰撞前后出入磁场两点之间的距离为L

则：根据几何关系可得：4Rcosθ﹣L=6L，其中：cosθ=

解得：R= ①

根据半径公式：R= ②

联立①②式可得：v=

答：只与挡板碰撞一次并能回到P点的粒子初速度大小为 ；

（2）设粒子在x轴上方与挡板碰撞n次，

每次圆周运动，粒子位置沿y轴向下平移的距离为2Rcosθ，

与挡板相碰后，粒子位置向上平移的距离为L，

一次周期性运动粒子沿y轴共向下平移为2Rcosθ﹣L，

要使粒子经过坐标原点O之后再回到P点需满足：

（n﹣1）（2Rcosθ﹣L）+2Rcosθ=3L （n=2，3，4…） ③

联立②③式子可得：v= （n=2，3，4…）

所以，只要粒子速度满足v= （n=2，3，4…）粒子就可以经过坐标原点O之后再回到P点（图二为n=2时的过程图）

答：粒子能经过坐标原点O之后再回到P点；

（3）若与挡板碰撞三次，如图二所示，设挡板的长度L0

根据几何关系可得：3（2Rcosθ﹣L）+2Rcosθ=6L

解得：R= ④

根据半径公式：R= 可得：v= ⑤

联立④⑤式子可得：挡板的长度的最小值L0=2（2Rcosθ﹣L）=2.5L

答：只与挡板碰撞三次并能回到P点的粒子初速度大小以及这种情况下挡板的长度至少为2.5L．

【解析】（1）首先根据题目已知作出粒子运动的轨迹图，求解带电粒子在匀强磁场中运动的情况，先结合几何关系求出粒子在磁场中运动的轨道半径，由洛伦兹力提供向心力找出半径公式，根据半径公式求出粒子的速度．
（2）粒子进入磁场后做周期性运动，分析粒子一个周期的运动情况，根据几何关系以及对称性．即可求出粒子经过坐标原点O之后再回到P点所满足的关系式；
（3）粒子与挡板碰撞三次并能回到P点，作出轨迹图，结合几何关系，运用半径公式进行求解．