Question

如图甲，距离很近的竖直边界两侧为相同的匀强磁场区域，磁场范围很大，方向垂直纸面向里．在边界上固定两个等长的平行金属板A 和D，两金属板中心各有-小孔S₁、S₂，板间电压的变化规律如图乙，正、反向最大电压均为U₀，周期为T₀．一个质量为m、电荷量为+q 的粒子在磁场中运动的周期也是T₀．现将该粒子在t=T₀/4时刻由S₁ 静止释放，经电场加速后通过S₂又垂直于边界进人右侧磁场区域，在以后的运动过程中不与金属板相碰．不计粒子重力、极板外的电场及粒子在两边界间运动的时间．
（ l ）求金属板的最大长度．
（ 2 ）求粒子第n 次通过S₂的速度．
（ 3）若质量m′=13/12m 电荷量为+q 的另一个粒子在t=0 时刻由S₁静止释放，求该粒子在磁场中运动的最大半径．

Answer 1

分析：（1）粒子在匀强电场中做匀加速直线运动，电场力做功等于粒子动能的增加；使粒子不与极板相撞，则运动的半径大于

L

2

；
（2）粒子在磁场中D的运动轨迹是两个半圆，所以在磁场中运动的时间就是一个周期，也是T₀．每次加速的电压总为

U0

2

；
（3）质量m′=13/12m 电荷量为+q 的另一个粒子在t=0 时刻由S₁静止释放，它在磁场中的周期：T=

2πm′

qB

=

13

12

?

2πm

qB

=

13

12

T0，所以粒子第二次被加速时的电压是

5

6

U0，第三次被加速时的电压是

4

6

U0，…分析可知，粒子被连续加速6次后，圆周运动的半径最大．

解答：解：（1）由题意知，粒子第一次在电场中运动，由动能定理有   q

U0

2

=

1

2

mv02
粒子在磁场里做匀速圆周运动，有qvB=m

v2

R

周期   T0=

2πm

qB

半径    r=

mv0

qB

在磁场里做匀速圆周运动的最小半径r=

L

4

解得金属板的最大长度 L=

2T0

π

qU0 m

（2）粒子每从S₁、S₂中穿过一次，就会被加速一次，且每次加速的电压总为

U0

2

对粒子由动能定理有　　n

U0

2

q=

1

2

mvn2
解得vn=

nU0q m

（3）质量m′=13/12m 电荷量为+q 的另一个粒子在磁场中的周期：T=

2πm′

qB

=

13

12

?

2πm

qB

=

13

12

T0
所以粒子第二次被加速时的电压是

5

6

U0，第三次被加速时的电压是

4

6

U0，…
分析可知，粒子被连续加速6次后，圆周运动的半径最大，记为r₆
第1次加速过程中，由动能定理有　　U0q=

1

2

m′v12-0
第2次加速过程中，有   

5

6

U0q=

1

2

m′v22-

1

2

m′v12
…
第6次加速过程中，有   

1

6

U0q=

1

2

m′v62-

1

2

m′v52
以上6式左右累加解得　　v6=

84qU0 13m

由qBv6=m′

v62

r6

得　　r6=

T0

π

91qU0 48m

答：（l）金属板的最大长度L=

2T0

π

qU0 m

．
（2）粒子第n 次通过S₂的速度vn=

nU0q m

．
（3）该粒子在磁场中运动的最大半径r6=

T0

π

91qU0 48m

．

点评：该题类似于回旋加速器，第三问中分析出粒子被连续加速6次后，圆周运动的半径最大．是解题的关键．该题解题的过程复杂，公式较多，容易在解题的过程中出现错误．属于难度大的题目．