Question

13．低空跳伞是一种极限运动，一般在高楼、悬崖、高塔等固定物上起跳．一名质量为M=70kg的跳伞运动员背有质量为m=10kg的伞包从某高层建筑顶层跳下（初速不计），且一直沿竖直方向下落，假设前2.0s运动员近似看作匀加速直线运动，且2.0s末的速度为18m/s，随后拉开绳索开启降落伞．当降落伞全部打开时，伞和运动员所受的空气阻力大小跟下落速度的平方成正比，即f=kv²．已知比例系数k=20N•s²/m²，g取10m/s²，请计算：
（1）起跳后2s内运动员（包括其随身携带的全部装备）所受平均阻力的大小；
（2）当降落伞全部打开后，运动员（包括其随身携带的全部装备）下落速度为10m/s时的加速度；
（3）已知建筑顶层离地高度为200m，运动员从开始跳下到即将触地前已达到稳定的速度，则运动员从开始跳下到即将触地前，损失了多少机械能．

Answer 1

分析 （1）起跳后前2s内运动员做匀加速直线运动，根据运动学速度公式求解加速度，然后根据牛顿第二定律列式求解平均阻力的大小；
（2）对运动员及伞包整体，根据牛顿第二定律列式求解加速度；
（3）稳定时重力与阻力大小相等，由此列式求得稳定时的速度，再对运动的全程根据能量守恒定律列式求解损失的机械能．

解答 解：（1）起跳后前2s内运动员做匀加速直线运动，其加速度为
   a=$\frac{v}{t}$=$\frac{18}{2}$=9m/s²．
设运动员（包括其随身携带的全部装备）所受平均阻力的大小为f，根据牛顿第二定律得：
    （M+m）g-f=（M+m）a
代入数据解得 f=80N
（2）根据牛顿第二定律得：
   （M+m）g-kv=（M+m）a′
解得 a′=7.5m/s²．
（3）设稳定时的速度为u，则有 （M+m）g=ku²．
运动员损失的机械能△E=Mgh-$\frac{1}{2}M{u}^{2}$
联立解得△E=1.386×10⁵J
答：
（1）起跳后2s内运动员（包括其随身携带的全部装备）所受平均阻力的大小是80N；
（2）当降落伞全部打开后，运动员（包括其随身携带的全部装备）下落速度为10m/s时的加速度是7.5m/s²；
（3）运动员从开始跳下到即将触地前，损失了1.386×10⁵J的机械能．

点评 本题的关键是明确运动员的运动情况、受力情况和能量的转化情况，然后结合运动学公式、牛顿第二定律和功能关系列式，但要注意研究对象的选择．