Question

18．已知引力常量为G地球半径为R，月心和地心之间的距离为r，同步卫星距地面的轨道为h，月球绕地球运转的周期为T_i，地球表面的重力加速度为g，某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法，同步卫星绕地球做圆周运动，由G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m（$\frac{2π}{{T}_{i}}$）²（R+h）得M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{2}}{G{{T}_{i}}^{2}}$．
（1）请判断上面的结果是否正确，如不正确，请给出正确的解法和结果；
（2）请根据已知条件再提出一种估算地球质量的方法，并得出结果．

Answer 1

分析 （1）地球赤道表面的物体随地球做圆周运动的向心力并不是物体所受的万有引力，而是万有引力与地面对物体支持力的合力．
（2）研究同步卫星绕地球做匀速圆周运动，要清楚物理公式中各个物理量的含义，其中向心力公式里的r为轨道半径，即同步卫星到地心的距离r=R+h．
根据万有引力提供向心力，列出等式求出中心体地球的质量．也可以求解同步卫星的运行速度．

解答 解：（1）计算结果错误，在计算过程中所用周期不是T₁而应该是T₂，同步卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=M$（\frac{2π}{{T}_{2}}）^{2}$（R+h），
解得：M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$；
（2）方法一：月球绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$（{\frac{2π}{{T}_{1}}）}^{2}$r，
解得：M=$\frac{4{π}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$；
方法二：地球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
答：（1）不正确，质量为：$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$；
（2）如上所述．

点评 在对物理规律和公式理解和应用的同时，要知道公式中各个物理量的准确含义．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．