Question

17．在组成原子的核外电子、质量、中子之间存在强核力、电磁力、弱核力的作用，当受到外界的影响，原子（或原子核）会发生变化，这种变化过程可用下列力学物理模型来模拟：在足够长的光滑水平轨道上有三个小木块A、B、C，质量分别为m_A=m_B=1kg，m_C=2kg．其中B与C用一个轻弹簧固定连接，开始时整个装置处于静止状态；A和B之间有少许塑胶炸药，A的左边有一个弹性挡板（小木块与弹性挡板碰撞过程没有能量损失）．现在引爆塑胶炸药（不计爆炸时间），若炸药爆炸产生的能量有E₀=9J转化为A和B沿轨道方向的动能，A和B分开后，A恰好在B、C之间的弹簧第一次恢复到原长时追上B，并且与B发生碰撞后立即粘在一起．求：
（1）在A追上B之前弹簧性势能的最大值？
（2）A与B相碰以后弹簧弹性势能的最大值？

Answer 1

分析 （1）炸药爆炸时，A、B分离，该过程中A、B动量守恒，爆炸产生的能量转化为A、B的动能．爆炸后，以B、C弹簧组成的系统为研究对象，系统水平方向动量守恒，当弹簧压缩最短时弹性势能最大，根据系统的机械能守恒求解．
（2）A反弹后，当A与B碰撞瞬间动量守恒，碰后成为一个整体．先以B、C组成的系统为研究对象，根据动量守恒和机械能守恒求出弹簧第一次恢复到原长时B、C的速度大小．再以A、B、C三者以及弹簧组成的系统为研究对象，系统动量守恒，当三者速度相等时，弹簧弹性势能最大，由动量守恒和机械能守恒列式求解．

解答 解：（1）塑胶炸药爆炸瞬间取A和B为研究对象，假设爆炸后瞬间A、B的速度大小分别为v_A、v_B，取向右为正方向由动量守恒：-m_Av_A+m_Bv_B=0
爆炸产生的热量有9J转化为A、B的动能：$E=\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{A}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{B}}^{2}$
代入数据解得v_A=v_B=3m/s
由于A在炸药爆炸后再次追上B的时候弹簧恰好第一次恢复到原长，则在A追上B之前弹簧已经有一次被压缩到最短（即弹性势能最大），爆炸后取B、C和弹簧为研究系统，当弹簧第一次被压缩到最短时B、C达到共速v_BC，此时弹簧的弹性势能最大，设为E_p1．
由动量守恒，得：m_Bv_B=（m_B+m_C）v_BC
由机械能守恒，得：$\frac{1}{2}$m_Bv_B²=$\frac{1}{2}$（m_B+m_C）v_BC²+E_p
代入数据得：E_P1=3J
（2）设B、C之间的弹簧第一次恢复到原长时B、C的速度大小分别为v_B1和v_C1，则由动量守恒和能量守恒：
m_Bv_B=m_Bv_B1+m_Cv_C1
$\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{B1}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{C}{{v}_{C1}}^{2}$
代入数据解得：v_B1=-1m/s，v_C1=2m/s
A爆炸后先向左匀速运动，与弹性挡板碰撞以后速度大小不变，反向弹回．当A追上B，发生碰撞瞬间达到共速v_AB
由动量守恒，得：m_Av_A+m_Bv_B1=（m_A+m_B）v_AB
解得：v_AB=1m/s
当A、B、C三者达到共同速度v_ABC时，弹簧的弹性势能最大为E_P2
由动量守恒，得（m_A+m_B）v_AB+m_Cv_C1=（m_A+m_B+m_C）v_ABC
由能量守恒，得$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}_{AB}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{C}{{v}_{1}}^{2}$=$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}+{m}_{C}）{v}_{ABC}^{2}+{E}_{P2}$
代入数据得：E_P2=0.5J
答：
（1）在A追上B之前弹簧弹性势能的最大值为3J．
（2）A与B相碰之后弹簧弹性势能的最大值为0.5J

点评 本题考查了与弹簧有关的动量、能量问题，有一定综合性，易错点在于A反弹后与B碰撞过程中有能量损失，很多学生容易忽略这点，导致错误．