Question

7．如图所示，地面上有一固定的球面，球半径为R，球面的斜上方P处有一质点（P与球心O在同一竖直平面内）．已知P到球心O的距离为L，P到地面的垂直距离为H，现要使此质点从静止开始沿一光滑斜直轨道在最短时间内滑到球面上，求所需的最短时间．

Answer 1

分析 先求证小球从竖直平面的圆顶点沿光滑轨道运动到任何方向圆外边缘的时间相同，且求出关系式；作图找出最短时间的运动轨道，根据三角关系求出相关的物理量，求出最短时间．

解答 解：（1）求证：如图所示小球从竖直平面的半径为R′的圆的顶点，沿光滑轨道运动到任何方向圆外边缘，

任取一条轨道PQ，PQ与水平面的夹角为Φ，
由三角关系得PQ的长度为：l=2R′sinΦ
由牛顿第二定律得，沿光滑斜面下滑的加速度为：a=gsinΦ
由位移时间公式得，运动时间：t=$\sqrt{\frac{2l}{a}}=\sqrt{\frac{2×2R′sinΦ}{gsinΦ}}=2\sqrt{\frac{R′}{g}}$
即运动时间与角度无关，故对应任何轨道的时间均相同．
（2）作图：以P为顶点作一半径为r的球面，使其与所给球面相切与Q，如图所示：

由（1）可知右上圆内从P点到圆的外边缘的时间是相同的，故PQ₁、PQ₂用时均长于PQ用时，
则线段PQ即为所求的用时最短的轨道．
（3）解题：把上图转化如下：

∠OPO′=α，
由三角关系得：cosα=$\frac{\overline{PC}}{\overline{OP}}=\frac{H-R}{L}$
（R+r）²=L²+r²-2Lrcosα
联立以上两式解得：$r=\frac{{L}^{2}-{R}^{2}}{2H}$
由（1）知，运动时间：${t}_{min}=2\sqrt{\frac{r}{g}}=2\sqrt{\frac{\frac{{L}^{2}-{R}^{2}}{2H}}{g}}=\sqrt{\frac{2（{L}^{2}-{R}^{2}）}{Hg}}$
答：所需的最短时间为$\sqrt{\frac{2（{L}^{2}-{R}^{2}）}{Hg}}$．

点评 本题很难，需要综合运用数学知识和物理知识，对于作图要求较高，需要准确掌握三角形相关的数学知识．