Question

如图所示，坐标系xOy在竖直平面内，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。y<0的区域有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B；在第一象限的空间内有与x轴平行的匀强电场（图中未画出）；第四象限有与x轴同方向的匀强电场；第三象限也存在着匀强电场（图中未画出）。一个质量为m、电荷量为q的带电微粒从第一象限的P点由静止释放，恰好能在坐标平面内沿与x轴成θ=30°角的直线斜向下运动，经过x轴上的a点进入y<0的区域后沿直线运动到y轴上的b点，经过b点进入x<0的区域后做匀速圆周运动，最后通过x轴上的c点，且Oa=Oc。已知重力加速度为g，空气阻力可忽略不计。求：
（1）微粒的电性及第一象限电场的电场强度E₁；
（2）带电微粒从a点运动到c点所经历的时间。

Answer 1

解析：（1）在第一象限内，带电微粒从静止开始沿Pa做匀加速直线运动，受重力mg和电场力qE₁的合力一定沿Pa方向，电场力qE₁一定水平向左。        
带电微粒在第四象限内一定受重力mg、电场力qE₂和洛仑兹力qvB做匀速直线运动，所受合力为零。分析受力可知微粒所受电场力一定水平向右，故微粒一定带正电。（1分）

第一象限内电场方向水平向左。（1分）

根据平行四边形定则，有 mg=qE₁tanθ                  （ 1分）
解得                        （  1分）

（2）在第三象限内，带电微粒由b点到c点受重力mg、电场力qE₃和洛仑兹力qvB做匀速圆周运动，一定是重力与电场力平衡.   
设带电微粒做匀速圆周运动的半径为R,          （1分）          
带电微粒做匀速圆周运动的周期为T，             （1分）

连接bc弦，因Oa=Oc，所以Δabc为等腰三角形，即∠Ocb=∠Oab=30°。过b点做ab的垂线，与x轴交于d点，因∠Oba=60°，所以∠Obd="30°," 因此Δbcd为等腰三角形，bc弦的垂直平分线必交于轴上的d点,即d点为圆轨迹的圆心        

设oa=l，则带电粒子在第四象限运动的位移x_ab=l/cosθ,   （1分）

又因为3R/2=l    （1分）

其在第四象限运动的时间t₁=  （2分）

由上述几何关系可知，带电微粒在第三象限做匀速圆周运动转过的圆心角为120°，即转过1/3圆周，所以从b到c的运动时间  （2分）
因此从a点运动到c点的时间      （2分）