Question

4．如图所示，空间中第二、三象限存在电、磁场区域，以45°线分界线，匀强磁场方向垂直于纸面向里，匀强电场方向垂直于分界线向上，一带负电的离子在分界线上的A点以一定速度垂直分界线射入磁场区域，其轨迹在半个周期内恰与y轴相切，已知A到原点O的距离为（1+$\sqrt{2}$）m，该负离子的比荷$\frac{q}{m}$=10⁷C/kg，磁场的磁感应强度大小B=0.4T，电场强度大小E=$\frac{\sqrt{2}+1}{5}$×10⁶V/m，不计离子的重力．
（1）求负离子在磁场中运动的速度v₁的大小．
（2）求负离子经过x轴时速度v₂的大小．
（3）若t=0时刻从A点射入相同比荷的正离子，求自A点至粒子第三次通过分界线的时间t．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直进入磁场后做匀速圆周运动，画出运动轨迹，根据几何关系求出半径，再根据洛伦兹力提供向心力公式求解速度．
（2）根据几何关系求出粒子离开磁场后到x轴的距离，再根据动能定理求出到达x轴的速度；
（3）若射入正离子，该离子先在磁场中做匀速圆周运动，后在电场中做匀减速直线运动，速度减为零后又做匀加速直线运动，到达分界线，然后又做圆周运动，回到分界线，直到第3次回到分界线时，共在磁场中运动了一个周期，在电场中经过了一个来回，分别求出粒子在电场和磁场中运动的时间，两者之和即为总时间．

解答 解：（1）负离子垂直进入磁场后做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，设轨迹半径为R：
根据几何关系可知，AO=R+$\sqrt{2}$R
又 AO=（1+$\sqrt{2}$）m
解得：R=1m
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有：
Bqv₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：v₁=$\frac{qBR}{m}$=10⁷×0.4×1=4×10⁶m/s
（2）负离子进入电场后做匀加速直线运动，运动的位移为：
x=AO-2R=（1+$\sqrt{2}$）m-2m=（$\sqrt{2}$-1）m，
根据动能定理得：$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²=Eqx
解得：v₂=2$\sqrt{5}$×10⁶m/s
（3）若射入正离子，该离子先在磁场中做匀速圆周运动，后在电场中做匀减速直线运动，速度减为零后又做匀加速直线运动，到达分界线，然后又做圆周运动．
所以在磁场中运动的时间为：t₁=T=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2π}{1{0}^{7}×0.4}$s=5π×10^-7 s
在电场中经过的时间为：t₂=2×$\frac{{v}_{1}}{a}$=2×$\frac{{v}_{1}}{\frac{qE}{m}}$=$\frac{2m{v}_{1}}{qE}$=$\frac{2×4×1{0}^{6}}{1{0}^{7}×\frac{\sqrt{2}+1}{5}×1{0}^{6}}$s=4（$\sqrt{2}$-1）×10^-6s
所以粒子从第一次到达分界线到第三次到达分界线的时间为：t=t₁+t₂=[4（$\sqrt{2}$-1）+0.5π]×10^-6 s
答：（1）负离子在磁场中运动的速度v₁的大小为4×10⁶m/s．
（2）负离子经过x轴时速度v₂的大小为2$\sqrt{5}$×10⁶m/s．
（3）若t=0时刻从A点射入相同比荷的正离子，自A点至粒子第三次通过分界线的时间t为[4（$\sqrt{2}$-1）+0.5π]×10^-6 s．

点评 本题是一道综合题，考查了粒子在电场、磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程是正确解题的关键，分析清楚运动过程后，应用动能定理、牛顿第二定律、运动学公式即可正确解题，难度较大，属于难题．