Question

12．如图所示，质量均为m的A、B两球，由一根劲度系数为k的轻弹簧连接静止于半径为R的光滑半球形碗中，弹簧水平，两球间距为R且球半径远小于碗的半径．则弹簧的原长为（　　）

• A． $\frac{mg}{k}$+R
• B． $\frac{mg}{2k}$+R
• C． $\frac{{2\sqrt{3}mg}}{3k}$+R
• D． $\frac{{\sqrt{3}mg}}{3k}$+R

Answer 1

分析 对A球受力分析后根据平衡条件得到弹簧的弹力，根据胡克定律求解出压缩量；根据几何关系得到弹簧的长度，相加得到弹簧的原长．

解答 解：以A球为研究对象，小球受三个力：重力、弹力和球壳的支持力如图所示，
由平衡条件，得到：
tanθ=$\frac{mg}{kx}$
解得：
x=$\frac{mg}{ktanθ}$
根据几何关系得：$cosθ=\frac{\frac{1}{2}R}{R}=\frac{1}{2}$，则tan$θ=\sqrt{3}$，
所以x=$\frac{mg}{ktanθ}$=$\frac{\sqrt{3}mg}{3k}$
故弹簧原长x₀=$\frac{\sqrt{3}mg}{3k}$+R，故D正确．
故选：D

点评 本题关键是对小球受力分析后根据平衡条件求得弹力，然后根据胡克定律并几何关系列式求解即可