Question

如图所示，将质量为m_A=100g的平台A连结在劲度系数k=200N/m的弹簧上端，弹簧下端固定在地上，形成竖直方向的弹簧振子，在A的上方放置m_B=m_A的物块B，使A、B一起上下振动，弹簧原长为5cm．A的厚度可忽略不计，取g=10m/s²．求：
（1）当系统做小振幅简谐振动时，A的平衡位置离地面C多高？
（2）当振幅为0.5cm时，B对A的最大压力有多大？
（3）为使B在振动中始终与A接触，振幅不能超过多大？

Answer 1

解：（1）振幅很小时，A、B间不会分离，将A与B整体作为振子，当它们处于平衡位置时，
根据平衡条件得
kx₀=（m_A+m_B）g
得形变量 x₀=1cm
平衡位置距地面高度 h=l₀-x₀=4cm
（2）当A、B运动到最低点时，有向上的最大加速度，此时A、B间相互作用力最大，设振幅为A
最大加速度 =5m/s²
取B为研究对象，有N-m_Bg=m_Ba_m
得A、B间相互作用力 N=m_B（g+a_m）=1.5N
由牛顿第三定律知，B对A的最大压力大小为1.5N
（3）为使B在振动中始终与A接触，在最高点时相互作用力应满足：N≥0
取B为研究对象，m_B-N=m_Ba，
当N=0时，B振动的加速度达到最大值，且最大值
a_m=g=10m/s²（方向竖直向下）
因a_mA=a_mB=h，表明A、B仅受重力作用，此刻弹簧的弹力为零，弹簧处于原长
A=x₀=1cm 振幅不能大于1cm
答：
（1）当系统做小振幅简谐振动时，A的平衡位置离地面高为4cm．
（2）当振幅为0.5cm时，B对A的最大压力为1.5N．
（3）为使B在振动中始终与A接触，振幅不能大于1cm．
分析：（1）图中AB作为振子，对于弹簧振子，弹簧的弹力与物体重力共同作用下做简谐运动．当振子的合力为零时处于平衡位置，由胡克定律求得弹簧的压缩量x₀，A的平衡位置离地面的高度h=l₀-x₀；
（2）当A、B运动到最低点时，有向上的最大加速度，此时A、B间相互作用力最大，弹簧的压缩量等于A+x₀，对整体，根据胡克定律和牛顿第二定律求出加速度，再对B研究，即可求得B对A的最大压力；
（3）物体B恰好离开A时，A对B的弹力恰好为零，对于B此时只受重力，得到加速度为重力加速度g，说明弹簧恰好处于原长．即可得到最大振幅．
点评：物体处于平衡位置即重力与弹力相等的位置，同时当物体A以最大振幅振动时，A对B的支持力恰好为零，弹簧处于原长．这是应挖掘出来的临界条件．