Question

15．物体在万有引力场中具有的势能叫引力势能，若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为m₀的质点距离质量为M₀的引力源中心为r₀时，其引力势能E_P=-$\frac{G{M}_{0}{m}_{0}}{{r}_{0}}$（式中G为引力常数），如图所示，一颗质量为m的人造地球卫星在离地面高度为h的圆形轨道环绕地球飞行，已知地球的质量为M，地球的半径为R，以无穷远处引力势能为零，求：
（1）该卫星在距地面高度为h的圆轨道上绕地球作匀速圆周运动时卫星的周期为多少；
（2）该卫星在距地面高度为h的圆轨道上绕地球作匀速圆周运动时卫星的动能为多少；
（3）假定该卫星要想挣脱地球引力的束缚，卫星发动机至少要做多少功．

Answer 1

分析 （1）由万有引力提供向心力，然后结合牛顿第二定律即可求出卫星的周期；
（2）由万有引力提供向心力，然后结合牛顿第二定律即可求出卫星的动能；
（3）卫星发动机做的功，至少要使卫星脱离地球的重力势能的影响．

解答 解：（1）质量为m的人造地球卫星在离地面高度为h的圆形轨道环绕地球飞行，万有引力提供向心力，得：
$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=\frac{m4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$
所以卫星的周期：T=$2π\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{GM}}$
（2）根据万有引力提供向心力，得：
$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{R+h}$
卫星的动能：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{GMm}{2（R+h）}$
（3）根据引力势能的表达式：E_P=-$\frac{G{M}_{0}{m}_{0}}{{r}_{0}}$
地球表面的卫星的重力势能：${E}_{1}=-\frac{GMm}{R}$
以无穷远处引力势能为零，卫星发动机做的功，至少要使卫星脱离地球的影响，到达重力势能的地方．所以发动机做功的最小值：
W=$△{E}_{P}=0-{E}_{1}=\frac{GMm}{R}$
答：（1）该卫星在距地面高度为h的圆轨道上绕地球作匀速圆周运动时卫星的周期为$2π\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{GM}}$；
（2）该卫星在距地面高度为h的圆轨道上绕地球作匀速圆周运动时卫星的动能为$\frac{GMm}{2（R+h）}$；
（3）假定该卫星要想挣脱地球引力的束缚，卫星发动机至少要做功$\frac{GMm}{R}$．

点评 该题属于信息给予的题目，解答的关键就是要根据题干中提供的信息，判断出卫星能够脱离地球的引力的条件．