Question

如图，竖直放置的斜面AB的下端与光华圆弧轨道BCD的B端相切，圆弧半径为R，圆心与A、D在同一水平面上，∠COB=θ，现有一个质量为m的小物块P从斜面上的A点无初速滑下，与位于B点的另外一个质量也为m的小物块Q碰撞，碰后，两个物块粘连在一起，已知两个小物块与斜面间的动摩擦因数均为μ，求：
（1）粘连体在斜面上运动的路程．
（2）粘连体通过C点时，对C点的最大压力和最小压力．（两个小物体均可视为质点）

Answer 1

分析：（1）由几何知识得知，斜面的倾角等于θ．物体从A点无初速度滑下后，由于克服摩擦力做功，物体在斜面上运动时机械能不断减小，到达的最大高度越来越小，最终在BE圆弧上来回运动，到达B点的速度为零．物体在斜面上运动时摩擦力大小为μ2mgcosθ，总是做负功，滑动摩擦力做的总功与总路程成正比，根据动能定理求解总路程．
（2）当物体第一次经过C点时，速度最大，对C点的压力最大，当最后稳定后，物体在B点之下运动时，经过C点时速度最小，物体对C点的压力最小，根据动能定理求出最大速度和最小速度，再由牛顿运动定律求解最大压力和最小压力．

解答：解：（1）P滑到B点过程中重力和摩擦力做功，物体的动能增大：
由几何关系知，P下滑的高度：h=Rcosθ；斜面与水平面的夹角为θ；
设B点以上的斜面长为s，则：s=

h

sinθ

=

R

tanθ

由动能定理得：mgh-μmgscosθ=

1

2

mv2
联立以上各方程，解得：v=

2R(gsinθ-μgcosθ) tanθ

到B点与Q发生完全碰撞，由于碰撞的时间短，可以认为碰撞的过程中动量守恒，则：mv=2mv′
由于克服摩擦力做功，物体在斜面上运动时机械能不断减小，到达的最大高度越来越小，
最终粘连体在圆弧上角度为2θ范围内做往复运动，故最终粘连体在B点速度为0
由动能定理：

1

2

?2mv′2=μ?2mcosθ?S0
代入数据解得：S0=

R(sinθ-μcosθ)

4μtanθ

（2）第一次往返C点时压力最大，设为F₁，对于PQ整体，B→C过程机械能守恒：

1

2

×2mv′2+2mgR(1-cosθ)=

1

2

×2m

v

2 c

…①
在C点：F1-2mg=2m?

v 2 c

R

…②
代入数据解得：F1=2mg+4mg(1-cosθ)+

2m

R

×

1

4

×2gR(sinθ-μcosθ)?cotθ=6mg-3mgcosθ-μmg

cos2θ

sinθ

当物体不能冲出B点时，再经过C点时的压力最小，设在C点的最小压力为F₂．
2mgR(1-cosθ)=

1

2

×2m

v

2 C1

…③
在C点：F2-2mg=2m?

v 2 C2

R

…④
代入数据解得：F₂=6mg-4mgcosθ
答：（1）粘连体在斜面上运动的路程为S0=

R(sinθ-μcosθ)

4μtanθ

；
（2）粘连体通过C点时，对C点的最大压力为6mg-3mgcosθ-μmg

cos2θ

sinθ

，最小压力为：6mg-4mgcosθ．

点评：本题是动能定理与牛顿运动定律的综合应用，关键是分析物体的运动过程，抓住滑动摩擦力做功与路程有关这一特点．