Question

4．如图甲所示，表面绝缘、倾角θ=30°的斜面固定在水平地面上，斜面所在空间有一宽度D=0.40m的匀强磁场区域，其边界与斜面底边平行，磁场方向垂直斜面向上．一个质量m=0.10kg、总电阻R=0.25Ω的单匝矩形金属框abcd，放在斜面的底端，其中ab边与斜面底边重合，ab边长L=0.50m．从t=0时刻开始，线框在垂直cd边沿斜面向上大小恒定的拉力作用下，从静止开始运动，当线框的ab边离开磁场区域时撤去拉力，线框继续向上运动，线框向上运动过程中速度与时间的关系如图乙所示．已知线框在整个运动过程中始终未脱离斜面，且保持ab边与斜面底边平行，线框与斜面之间的动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，重力加速度g取10m/s²．求：
（1）线框受到的拉力F的大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（3）线框在斜面上运动的过程中产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1）由图象知道，线框在拉力的作用下从静止开始做匀加速直线运动，由图象求出加速度，再由牛顿第二定律求出大小恒定的拉力．
（2）还是由图象看出，在0.4s---0.8s内在拉力作用下做匀速直线运动，则只能是线框从进入到完全离开的过程，且线框的边长与磁场宽度相等．于是由平衡条件列出一个方程，由方程解出磁感应强度的大小．
（3）由图象判断线框离开磁场后，做匀减速直线运动直到速度为零，又因为重力下滑分力mgsinθ  与最大静摩擦力μmgcosθ  都等于0.5N，所以线框就停在最高点，线框向上运动的焦耳热由焦耳定律求得．

解答 解：（1）由v-t图象可知，在0～0.4s时间内线框做匀加速直线运动．
进入磁场时的速度为：v₁=2.0m/s，
所以在此过程中的加速度为：a=$\frac{△v}{△t}$=5.0m/s²
由牛顿第二定律有：F-mgsinθ-μmgcosθ=ma
解得：F=1.5 N
（2）由v-t图象可知，线框进入磁场区域后以速度v₁做匀速直线运动
产生的感应电动势为：E=BLv₁
通过线框的电流为：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BL{v}_{1}}{R}$ 
线框所受安培力为：F_安=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$ 
对于线框匀速运动的过程，由力的平衡条件，有：F=mgsinθ+μmgcosθ+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$
解得：B=0.50T
（3）由v-t图象可知，线框进入磁场区域后做匀速直线运动，并以速度v₁匀速穿出磁场，说明线框的宽度等于磁场的宽度D=0.40m 
  线框ab边离开磁场后撤去外力做匀减速直线运动直到速度为零．此时，由于重力沿斜面方向的分力与滑动摩擦力大小相等，
  即mgsinθ=μmgcosθ=0.5N，所以线框就停在最高点．
  线框向上运动通过磁场区域产生的焦耳热为：
Q=I²Rt=$（\frac{BL{v}_{1}}{R}）^{2}×R×\frac{2D}{{v}_{1}}=\frac{2{B}^{2}{L}^{2}D{v}_{1}}{R}$=0.40 J
答：（1）线框受到的拉力F的大小为1.5N．
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小为0.5T．
（3）线框在斜面上运动的过程中产生的焦耳热Q为0.4J．

点评 这是力学与电磁学的综合题，第一问完全是关于斜面模型牛顿第二定律应用的力学内容，做好受力分析即可．第二问是力学平衡与电磁学的综合，代入平衡方程就能解出所求．有可能出现疑问的是第三问离开磁场后向上减速至零后线框还会往下滑吗？由于最大静摩擦力μmgcosθ  都等于0.5N，所以停在最高点．