Question

4．如图所示，在磁感应强度大小为B=1T、方向垂直向上的匀强磁场中，有一上、下两层均与水平面平行的“U”型光滑金属导轨，在导轨面上各放一根完全相同的质量为m=2kg的匀质金属杆A₁和A₂，开始时两根金属杆位于同一竖起面内且杆与轨道垂直．设两导轨面相距为H=1.25m，导轨宽为L=1m，导轨足够长且电阻不计，金属杆电阻为R=1Ω．现有一质量为$\frac{1}{2}$m的不带电小球以水平向右的速度v=10m/s撞击杆A₁的中点，撞击后小球反弹落到下层面上的C点．C点与杆A₂初始位置相距为S=1m．求：
（1）回路内感应电流的最大值；
（2）整个运动过程中感应电流最多能产生多少热量．

Answer 1

分析 （1）小球撞击金属杆的过程，遵守动量守恒定律．根据动量守恒定律列式．根据平抛运动的规律求出碰后小球的速度．从而求出金属杆获得的速度．再由法拉第定律和欧姆定律结合求出碰后瞬间电路中的电流，即回路内感应电流的最大值．
（2）碰后，在安培力作用下，金属杆A₁做减速运动，金属杆A₂做加速运动，当两杆速度大小相等时，回路内感应电流为0，根据动量守恒定律和能量守恒定律结合求解热量．

解答 解：（1）设撞击后小球反弹的速度为v₁，金属杆A1的速度为v₀₁，二者在碰撞的过程中二者组成的系统沿水平方向的动量守恒，选取向右为正方向，根据动量守恒定律，得：
$\frac{1}{2}$mv₀=$\frac{1}{2}$m（-v₁）+mv₀₁，①
 根据平抛运动的分解，有：
 　s=v₁t，H=$\frac{1}{2}$gt²
 　由以上2式解得v₁=s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$       ②
 　②代入①得v₀₁=$\frac{1}{2}$（v₀+s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$）      ③
 　回路内感应电动势的最大值为E_m=BLv₀₁，电阻为R=2Lr，
联立回路内感应电流的最大值为I_m=$\frac{B（{v}_{0}+s\sqrt{\frac{g}{2H}}）\;}{4r}$．        ④
代入数据得：I_m=3A
（2）因为在安培力的作用下，金属杆A₁做减速运动，金属杆A₂做加速运动，当两杆速度大小相等时，回路内感应电流为0，其中v₁₂是两杆速度大小相等时的速度，
根据动量守恒定律，mv₀₁=2mv₁₂，⑤
根据能量守恒定律，$\frac{1}{2}m{v}_{01}^{2}=\frac{1}{2}•2m{v}_{12}^{2}+Q$   ⑥
代入数据联立可得：Q=18J
答：（1）回路内感应电流的最大值是3A；
（2）整个运动过程中感应电流最多能产生的热量是18J．

点评 注重金属杆A₁、A₂两杆的运动过程分析，清楚同一时刻两杆都切割磁感线产生感应电动势时，根据两个感应电动势在回路中的方向会求出电路中总的感应电动势．