Question

如图所示，质量M=4kg的木板AB静止放在光滑水平上，木板右端B点固定着一根轻质弹簧，弹簧自由端在C点，C到木板左端的距离L=0.5m，质量m=1kg的小木块（可视为质点）静止在木板的左端，其与木板间的动摩擦因数μ=0.2．木板AB受到水平向左的恒力F=14N，作用时间t后撤去，恒力F撤去时小木块恰好到达弹簧的自由端C处，此后的运动过程中弹簧的最大压缩量x=5cm，取g=10m/s²．试求：
（1）水平恒力F作用的时间
（2）弹簧的最大弹性势能
（3）通过计算确定小木块最终停在C点的左边还是右边，并求出整个运动过程中所产生的热量．

Answer 1

（1）木板向左作初速度为零的匀加速运动，而小木块在摩擦力f=μmg的作用下也做初速度为零的匀加速运动，M，m的加速度分别为α₁，α₂
由牛顿第二定律得F-μmg=Mα₁…①
μmg=Mα₂…②
解①②得：α₁=3m/s²，α₂=2m/s²
撤去F时，木块刚好运动到C处，则运动学公式
得L=

1

2

α1t2-

1

2

α2t2，解上面各式得t=

2L α1-α2

=1s
（2）撤去力F时，M、m的速度分别为v₁、v₂，由运动学公式得
v₁=α₁t=3m/s，v₂=α₂t=2m/s…③
撤去力F时，因M的速度大于m的速度，木块将压缩弹簧，m加速，M减速，当它们具有共同速度v时，弹簧弹性势能最大，
设为E_p，将木块和木板及弹簧视为系统，规定向左为正方向，系统动量守恒，
则有Mv₁+mv₂=（M+m）v…④
系统从撤去力F后到其有共同速度，由能量守恒定律得

1

2

M

v

21

+

1

2

m

v

22

=

1

2

(M+m)v2+Ep+μmgx…⑤
解③④⑤得E_p=0.3J
木板压缩弹簧的最大弹性势能为0.3J．
（3）假设木块相对木板向左滑动离开弹簧后系统又能达到同共速度v′，相对向左滑动的距离为s
由动量守恒定律得：Mv₁+mv₂=（M+m）v'…⑥
由能量守恒定律得：

1

2

(M+m)v2+Ep=

1

2

(M+m)v2+μmgs…⑦
解⑥⑦得：s=0.15m  
由于x+L＞s且s＞x，故假设成立
所以整个运动过程中系统产生的热量：Q=μmg（L+x+s）=0.2×10÷（0.5+0.05+0.15）J=1.4J
答：（1）水平恒力F作用的时间为1s
（2）弹簧的最大弹性势能为0.3J
（3）小木块最终停在C点的左边，整个运动过程中所产生的热量为1.4J