Question

11．一枚小火箭携带试验炸弹竖直发射升空，小火箭的加速度a=$\frac{10}{3}$m/s²，经t₁=30s后小火箭与试验炸弹分离，预定试验炸弹在最高点爆炸，取g=10m/s²，不计空气阻力，求：
（1）试验炸弹预定爆炸点的高度是多少？
（2）若试验失败，炸弹未爆炸，如果不采取措施，炸弹会在分离后多长时间落地？
（3）若在第（2）问中，在炸弹到达最高点10s后，以v₀=400m/s竖直发射一枚拦截炮弹进行拦截，拦截点高度是多少？

Answer 1

分析 （1）由题意得到：小火箭在0-30s内匀加速上升；此后竖直上抛运动；根据运动学公式求解；
（2）炸弹在分离后做竖直上抛运动，根据运动学公式求解炸弹会在分离后到落地的时间；
（3）若以V₀=400m/s竖直发射一枚炮弹拦截，炸弹与炮弹在竖直方向位移的和等于炸弹上升的高度，根据竖直上抛运动与自由落体运动的规律写出公式，即可求解．

解答 解：（1）小火箭与试验炸弹分离时的速度${v}_{1}^{\;}=a{t}_{1}^{\;}=a{t}_{1}^{\;}=\frac{10}{3}×30=100m/s$
t₁时间内，炸弹上升的高度${h}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}=\frac{100}{2}×30=1500m$
设分离后，炸弹上升的高度为h₂，则${v}_{1}^{2}=2g{h}_{2}^{\;}$
代入数据：$10{0}_{\;}^{2}=20{h}_{2}^{\;}$
解得 h₂=500m    
试验炸弹预定爆炸点的高度h=h₁+h₂=1500+500=2000m   
（2）设炸弹在分离后经时间t₂落地，则$-{h}_{1}^{\;}={v}_{1}^{\;}{t}_{2}^{\;}-\frac{1}{2}g{t}_{2}^{2}$
代入数据：$-1500=100{t}_{2}^{\;}-5{t}_{2}^{2}$
解得t₂=30s    
（3）设拦截炮弹从发射到拦截住炸弹所用时间为t₃，则
$\frac{1}{2}g（{t}_{3}^{\;}+10）_{\;}^{2}+{v}_{0}^{\;}{t}_{3}^{\;}-\frac{1}{2}g{t}_{3}^{2}=h$
代入数据：5$（{t}_{3}^{\;}+10）_{\;}^{2}+400{t}_{3}^{\;}-5{t}_{3}^{2}=2000$
解得t₃=3s    
拦截点高度${h}_{3}^{\;}={v}_{0}^{\;}{t}_{3}^{\;}-\frac{1}{2}g{t}_{3}^{2}=400×3-\frac{1}{2}×10×{3}_{\;}^{2}$=1155m
答：（1）试验炸弹预定爆炸点的高度是2000m
（2）若试验失败，炸弹未爆炸，如果不采取措施，炸弹会在分离后30s时间落地
（3）若在第（2）问中，在炸弹到达最高点10s后，以v₀=400m/s竖直发射一枚拦截炮弹进行拦截，拦截点高度是1155m

点评 本题关键是明确火箭的运动规律，然后选择恰当的运动学规律列式求解，不难．要注意炸弹与炮弹在竖直方向位移的和等于炸弹上升的高度．