Question

15．如图所示，内径2L质量为m的内壁光滑的木槽C静置于水平桌面上，木槽C与水平桌面间的动摩擦因数为μ，槽内两小球（可视为质点）A、B质量分别m、2m．现在槽中央用两球将很短（长度可不计）的轻弹簧压紧（不拴接），弹簧的弹性势能为E_P=μmgL，同时无初速释放A、B两小球，待弹簧恢复原长立即取走弹簧，如果两小球之间及与槽两端竖直壁发生碰撞均为弹性碰撞，碰撞时间不计，重力加速度为g．求：
（1）B球与槽右端竖直壁发生第2次碰撞后瞬间，A、B、C三者各自速度大小；
（2）整个运动过程中，A与槽左端竖直壁发生碰撞的次数；
（3）整个运动过程中，A、B、C三者各自相对地面的位移．

Answer 1

分析 （1）碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，碰撞后物体做匀变速直线运动，应用动量守恒定律与机械能守恒定律、运动学公式求出A、B、C的速度．
（2）应用能量守恒定律求出C向右运动的位移，然后求出碰撞次数．
（3）根据物体的运动情况，求出物体的位移．

解答 解：（1）设弹簧恢复原长时A、B两小球速度大小分别为v_A、v_B，系统动量时候，以A的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
mv_A=2mv_B，
由机械能守恒定律得：E_P=$\frac{1}{2}$mv_A²+$\frac{1}{2}$•2mv_B²，
解得：v_A=2$\sqrt{\frac{μgL}{3}}$，
v_B=$\sqrt{\frac{μgL}{3}}$，
小球A向左运动历时t₁到达槽左端竖直壁处，则：L=v_At₁，
解得：t₁=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{3L}{μg}}$，
设小球A与槽左端竖直壁发生弹性碰撞后，小球A与木槽C速度大小分别为v_A1、v_C，
由于小球A与木槽C质量相等，速度交换，有：v_A1=0，
木槽C以速度：v_C=2$\sqrt{\frac{μgL}{3}}$，向左匀减速运动，
木槽C加速度大小为a，由牛顿第二定律得：4μmg=ma，
解得：a=4μg，
木槽C历时t₂，速度减为零，v_C=at₂，
解得：t₂=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{L}{3μg}}$，
向左位移大小：x_C1，有：x_C1=$\frac{{v}_{C}^{2}}{2a}$=$\frac{L}{6}$，
小球B在时间t₁+t₂内向右运动位移大小：x_B=v_B（t₁+t₂）=$\frac{2L}{3}$，
得木槽C速度减为零时，小球B与槽右端竖直壁距离$\frac{L}{6}$，
设小球B与槽右端竖直壁发生弹性碰撞后，小球B与木槽C速度大小分别为v_B1、v_C1，
系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：2mv_B1+mv_C1=2mv_B，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$•2mv_B1²+$\frac{1}{2}$mv_C1²=$\frac{1}{2}$•2mv_B²，
解得：v_B1=$\frac{{v}_{B}}{3}$=$\frac{\sqrt{3μgL}}{9}$，v_C1=$\frac{4{v}_{B}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3μgL}}{9}$，
随后C水平向右以初速v_C1作加速度为a匀减速直线运动，B以v_B1水平向右作匀速直线运动，经分析可知：C先减速至停止，然后B再以速度v_B1与C发生第二次碰撞，
设B与C发生第二次碰撞后瞬时，小球B与木槽C速度大小分别为v_B2、v_C2，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
2mv_B2+mv_C2=2mv_B1，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$•2mv_B2²+$\frac{1}{2}$mv_C2²=$\frac{1}{2}$•2mv_B1²，
解得：v_B2=$\frac{\sqrt{3μgL}}{27}$，v_C2=$\frac{4\sqrt{3μgL}}{27}$，A的速度为0；
（2）由分析知：B与C将一直碰撞下去，直至最终B、C均停止，设C向右运动路程为x，C与水平桌面摩擦生热，由能量守恒定律得：
μ•4mg（$\frac{L}{6}$+x）=E_P=μmgL，
解得：x=$\frac{L}{12}$，
说明此后C、A不再碰撞，所以整个运动过程中，A球与槽左端竖直壁只发生1次碰撞；
（3）整个运动过程中，A位移大小：s_A=L，方向水平向左，
B位移大小：s_B=$\frac{11L}{12}$，方向水平向右，
C位移大小：s_C=$\frac{L}{12}$，方向水平向左；
答：（1）B球与槽右端竖直壁发生第2次碰撞后瞬间，A、B、C三者各自速度大小分别为：0、$\frac{\sqrt{3μgL}}{27}$、$\frac{4\sqrt{3μgL}}{27}$；
（2）整个运动过程中，A与槽左端竖直壁发生碰撞的次数是1次；
（3）整个运动过程中，A、B、C三者各自相对地面的位移分别是：L、方向水平向左，$\frac{11L}{12}$、方向水平向右，$\frac{L}{12}$、方向水平向左．

点评 本题是一道力学综合题，难度较大，本题的难点在：分析清楚各物体的运动过程，分析清楚物体运动过程后，应用动量守恒定律、能量守恒定律、动能定律即可正确解题．