Question

如图所示，一轻质弹簧竖直固定在地面上，上面连接一个质量m₁=1.0kg的物体A，平衡时物体下表面距地面h₁= 40cm，弹簧的弹性势能E₀=0.50J。在距物体m₁正上方高为h= 45cm处有一个质量m₂=1.0kg的物体B自由下落后，与物体Ａ碰撞并立即以相同的速度运动（两物体粘连在一起），当弹簧压缩量最大时，物体距地面的高度h₂=6.55cm。g=10m/s²。

（1）已知弹簧的形变（拉伸或者压缩）量为x时的弹性势能，式中k为弹簧的劲度系数。求弹簧不受作用力时的自然长度l₀；
（2）求两物体做简谐运动的振幅;
（3）求两物体运动到最高点时的弹性势能。

Answer 1

（1）0.50m    （2）23.45cm                （3）6.0×10^-2J

（1）设物体A在弹簧上平衡时弹簧的压缩量为x₁，弹簧的劲度系数为k
根据力的平衡条件有       m₁g=k x₁
而
解得：k=100N/m， x₁=0.10m
所以，弹簧不受作用力时的自然长度l₀=h₁+x₁=0.50m
（2）两物体运动过程中，弹簧弹力等于两物体总重力时具有最大速度，此位置就是两物体粘合后做简谐运动的平衡位置
设在平衡位置弹簧的压缩量为x₂，则 （m₁+ m₂）g=kx₂，解得：x₂=0.20m，
设此时弹簧的长度为l₂，则   l₂=l₀-x₂    ,解得：l₂="0.30m" ,
当弹簧压缩量最大时，是两物体振动最大位移处，此时弹簧长度为h₂=6.55cm
两物体做简谐运动的振幅A=l₂-h₂ =23.45cm
（3）设物体B自由下落与物体A相碰时的速度为v₁，则   
解得：v₁=3.0m/s，
设A与B碰撞结束瞬间的速度为v₂，根据动量守恒  m₂ v₁=（m₁+ m₂）v₂，
解得：v₂="1.5" m/s，
由简谐运动的对称性，两物体向上运动过程达到最高点时，速度为零，弹簧长度为l₂+A=53.45cm
碰后两物体和弹簧组成的系统机械能守恒，设两物体运动到最高点时的弹性势能E_P，则      
解得E_P＝6.0×10^-2J。