Question

（18分）质量m="1.0" kg的甲物体与竖直放置的轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地面上，如图所示。质量m="1.0" kg的乙物体从甲物体正上方，距离甲物体h="0.40" m处自由落下，撞在甲物体上在极短的时间内与甲物体粘在一起（不再分离）向下运动。它们到达最低点后又向上运动，上升的最高点比甲物体初始位置高H="0.10" m。已知弹簧的劲度系数k="200" N/m，且弹簧始终在弹性限度内，空气阻力可忽略不计，重力加速度g取10 m/s²。求：
（1）乙物体和甲物体碰撞过程中损失的动能；
（2）乙物体和甲物体碰撞后一起向下运动至最低点的过程中，甲乙两物体克服弹簧弹力所做的功。

Answer 1

（1）ΔE=2J
（2）W=6.0J

（1）设乙物体和甲物体碰撞前瞬间乙物体的速度大小为v₁，根据v₁²=2gh
解得v₁=2m/s =2.8m/s…………………2分（说明：结果为2m/s同样得分）
设乙物体和甲物体碰撞后的共同速度大小为v₂，由动量守恒定律有mv₁=2mv₂  
解得………2分（说明：结果为m/s同样得分）
所以碰撞后系统的动能…………………………………2分
因为甲、乙物体构成的系统碰撞前的动能E_k1=4J，所以乙物体和甲物体碰撞过程中损失的机械能ΔE= E_k1- E_k2=2J…………………………………………………………3分
（2）设甲物体静止时弹簧压缩量为x₁，
根据平衡条件，解得………………………………………2分
甲和乙碰撞后做简谐运动，在通过平衡位置时两物体所受合力为零，速度最大，设此时弹簧压缩量为x₂，解得…………………………………2分
甲物体和乙物体一同上升到最高点时，两物体与简谐运动平衡位置的距离，即简谐运动的振幅A=x₂+（H－x₁）=15cm
根据简谐运动的对称性可知，两物体向下运动的距离x=A+（x₂－x₁）=20cm…2分
设两物体向下运动至最低点的过程中，克服弹簧弹力做功为W，
根据动能定理有……2分解得W=6.0J…………1分