Question

16．如图1所示为某种弹射小球的游戏装置，水平面上固定一轻质弹簧及长度可调节的竖直管AB．细管下端接有一小段长度不计的圆滑弯管，上端B与四分之一圆弧弯管BC相接，每次弹射前，推动小球将弹簧压缩到同一位置后锁定．解除锁定，小球即被弹簧弹出，水平射进细管的A端，再沿管ABC从C端水平射出．已知弯管BC的半径R=0.3m，小球的质量为m=50g，每次弹射时弹簧对小球所做的功W=0.6J．不计小球运动中机械能损失，取$\sqrt{8}$=2.8，重力加速度g取10m/s²．
（1）当L=0.5m时，求小球到达管口C处时的速度大小；
（2）当L=0.5m时，小球落到水平面上的位置与竖直管AB间距离；
（3）调节L时，小球到达管口C时管壁对球的作用力F_N也相应变化，考虑到游戏装置的实际情况，L不能小于0.15m，请在如图2的坐标纸上作出F_N随长度L变化的关系图线．（取管壁对球的作用力F_N方向向上为正，并要求在横、纵轴上标上必要的刻度值）

Answer 1

分析 （1）小球向上到达管口C端的过程中重力做功，根据机械能守恒定律求出小球到达管口C处时的速度大小；
（2）小球离开C点做平抛运动，根据平抛运动的特点求出小球射程，由数学关系式求小球落到水平面上的位置与竖直管AB间的距离；
（3）小球通过C时临界速度为$\sqrt{gR}$时，小球对管道壁没有作用力，大于临界速度时对上管壁有压力，小球临界速度时对下管壁有压力，根据动能定理求出经过C点的速度，根据牛顿第二定律求出管壁对球的作用力与长度L的关系．

解答 解：（1）当L=0.5 m时，由机械能守恒得：W=mg（L+R）+$\frac{1}{2}$mv${\;}_{C}^{2}$；
解得：v_C=2.8 m/s；
（2）小球做平抛运动的水平射程x，故：
x=v_Ct
小球做平抛运动的时间t：
（L+R）=$\frac{1}{2}$gt²
小球落到水平面上的位置与竖直管AB间的距离
x′=x+0.3=1.42 m
（3）小球在C点处的向心力：mg-F_N=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
为使小球能到达C处，须满足：
W-mg（L+R）≥0
L≤0.9 m
所以F_N=$\frac{10}{3}$L-$\frac{5}{2}$（0.15 m≤L≤0.9 m）
F_N随长度L变化的关系图线如上图所示；
答：（1）当L=0.5m时，小球到达管口C处时的速度大小是2.8m/s；
（2）当L=0.5m时，小球落到水平面上的位置与竖直管AB间的距离是1.42m；
（3）F_N随长度L变化的关系图线如图所示．

点评 本题考查了机械能守恒定律与平抛运动规律，掌握小球能过最高点的临界条件，注意掌握过最高点时的绳球模型和杆球模型临界条件的不同．