Question

3．如图所示，真空中有以O₁为圆心，r为半径的圆形匀强磁场区域，坐标原点O为圆形磁场边界上的一点．磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．x=r的虚线右侧足够大的范围内有方向竖直向下、大小为E的匀强电场．从O点在纸面内向各个不同方向发射速率相同的质子，设质子在磁场中的偏转半径也为r，已知质子的电荷量为e，质量为m．求：
（1）质子射入磁场时的速度大小；
（2）速度方向y轴正方向射入磁场的质子到达x轴所需的时间；
（3）如图所示，速度方向与y轴正方向成30°角、与x轴正方向成120°角射入磁场的质子到达x轴时的位置坐标．

Answer 1

分析 （1）质子射入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，即可求得质子射入磁场时的速度大小；
（2）质子沿y轴正方向射入，在磁场中以O₂为圆心转过$\frac{1}{4}$圆弧后从A点垂直于电场方向进入电场．在磁场中的运动为$\frac{1}{4}$周期；质子进入电场后做类平抛运动，将运动沿电场方向和垂直于电场的方向分解，即可求得粒子在电场中运动的时间；t=t₁+t₂；
（3）若粒子速度方向与y轴正方向成30°角射入磁场，画出运动的轨迹，找出出射点的几何关系，然后按照粒子在磁场中运动的规律和粒子在电场中运动的规律，分别列出公式，即可求解．

解答 解：（1）设质子射磁场时的速度为v．质子射入磁场后做匀速圆周运动，有：evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
所以：v=$\frac{eBr}{m}$
（2）如图，质子沿y轴正方向射入，在磁场中以O₂为圆心转过$\frac{1}{4}$圆弧后从A点垂直于电场方向进入电场．在磁场中的运动周期为T=$\frac{2πm}{eB}$
所以质子在磁场中的运动时间：t₁=$\frac{T}{4}$=$\frac{πm}{2eB}$
质子进入电场后做类平抛运动，其侧移距离y=$\frac{1}{2}$at₂²=r
质子在电场中的加速度：a=$\frac{eE}{m}$
所以质子在电场中的运动时间t₂=$\sqrt{\frac{2mr}{eE}}$
故质子到达x轴所需的时间t=t₁+t₂=$\frac{πm}{2eB}$+$\sqrt{\frac{2mr}{eE}}$
（3）质子射入磁场后，在磁场中以O₃为圆心做匀速圆周运动，从P点射出磁场，如图所示，OO₁PO₃是边长为r的菱形，PO₃平行于y轴，质子射出磁场后速度方向与x轴平行．
P点距x轴的距离h=r+rcos60°
质子垂直于电场方向进入电场做类平抛运动，到达x轴上的Q点．竖直方向的位移：h=$\frac{1}{2}•\frac{eE}{m}{t}^{2}$
水平方向的位移为：s=vt
解得：s=Br$\sqrt{\frac{3er}{mE}}$
所以Q点的坐标为：（r+Br$\sqrt{\frac{3er}{mE}}$，0）
答：
（1）质子射入磁场时的速度大小为$\frac{eBr}{m}$；
（2）速度方向沿y轴正方向射入磁场的质子到达x轴所需的时间为 $\frac{πm}{2eB}$+$\sqrt{\frac{2mr}{eE}}$；
（3）速度方向与y轴正方向成37°角且与x轴正方向成127°角射入磁场的质子到达x轴时的位置坐标为（r+Br$\sqrt{\frac{3er}{mE}}$，0）．

点评 电荷在匀强磁场中做匀速圆周运动，关键是画出轨迹，由几何知识求出半径．定圆心角，求时间，类平抛运动应用运动分解法求解．