Question

2．如图，一个传送带倾斜放置，倾角α=53°，传送带的动摩擦因数为μ=0.5，长度L=10m，传送带沿顺时针方向转动，一个质量m=1kg的物体1在光滑的平台上向右做匀速直线运动，速度大小为V₀，在平台末端，物体1和静止的相同质量的物体2发生弹性碰撞，碰撞后物体2水平抛出，当物体2运动到传送带上表面顶端A点时，速度方向刚好和传送带上表面平行，即物体2无碰撞地运动到传送带上，已知斜面顶端与平台的高度差h=0.8m，重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：
（1）物体1的速度的大小V₀
（2）如果传送带静止，求物体2在传送带上下滑时的加速度．
（3）讨论传送带的摩擦力对物体2做的功W_f与传送带转动速度V的关系．

Answer 1

分析 （1）物体在平台上飞出后做平抛运动，由运动的合成与分解可求得平台上运动的速度；
（2）由A到B的过程中，由动能定理可求得物体到达传送带下端B点的速度；
（3）根据物体2运动到传送带上的速度与传送带速度的关系，分析其运动情况，根据动能定理求出摩擦力对物体2做的功W_f，并分析与传送带速度v的关系．

解答 解：（1）物体1、2发生弹性碰撞，因为能量和动量都守恒，碰撞后两物体速度交换，物体2以速度v₀水平抛出，之后物体2做平抛运动，由运动的合成与分解可得：
$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=tan53°
又 v_y²=2gh，v_y=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s
则得 v₀=$\frac{{v}_{y}}{tan53°}$=$\frac{4}{\frac{4}{3}}$m/s=3m/s；
（2）传送带静止时，物体2在传送带上加速运动时，由牛顿第二定律得：
mgsin53°-μmgcos53°=ma
则得 a=g（sin53°-μcos53°）=10×（0.8-0.5×0.6）=5m/s²；
（3）物体2到达A点的速度为 v_A=$\frac{{v}_{0}}{cos53°}$=$\frac{3}{0.6}$=5m/s
若传送带速度很快，物体2在传送带上的速度始终比传送带慢，设物体2到达B点时的速度大小为v_B，由动能定理得：
（mgsin53°+μmgcos53°）L=$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{A}^{2}$
解得：v_B=7$\sqrt{5}$m/s
故当v＜5m/s，滑动摩擦力对物体2一直做负功，W_f=-μmgcos53°L=-30J
当5m/s＜v＜7$\sqrt{5}$m/s时，物体2在传送带上开始时比传送带慢，设在传送带上经过距离S物体2速度达到v．
由动能定理得：（mgsin53°+μmgcos53°）S=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$m${v}_{A}^{2}$
则得：S=$\frac{{v}^{2}-25}{22}$
物体2在传送带上前S距离内摩擦力做正功，后L-S的距离摩擦力做负功．
故摩擦力做功 W_f=μmgcos53°S-μmgcos53°（L-S）=$\frac{3{v}^{2}-405}{11}$
答：（1）物体1的速度的大小v₀是3m/s；
（2）如果传送带静止，物体2在传送带上下滑时的加速度是5m/s²；
（3）传送带的摩擦力对物体2做的功W_f与传送带转动速度v的关系为：
当v＜5m/s，W_f=-30J．
当5m/s＜v＜7$\sqrt{5}$m/s时，W_f=$\frac{3{v}^{2}-405}{11}$．

点评 本题中物体物体先后经历了平抛、匀加速及匀减速直线运动，在多过程运动的题目中动能定理及功能关系应为解题的首选．