Question

15．如图所示，在水平面上固定一个气缸，缸内由质量为m的活塞封闭一定质量的理想气体，活塞与缸壁间无摩擦且无漏气，活塞到气缸底距离为L₀，今有一质量也为m的重物自活塞上方h高处自由下落到活塞上并立即以碰前速度的$\frac{1}{2}$与活塞一起向下运动，向下运动过程中活塞可达到的最大速度为v，求从活塞开始向下移动到达到最大速度的过程中活塞对封闭气体做的功．（被封闭气体温度不变，外界大气压强为P₀）

Answer 1

分析 首先根据题意，判断出当活塞受到的合外力为0时，活塞向下运动的速度最大，然后又功能关系得出重物到达活塞时的速度，以及重物与活塞碰撞后活塞的速度，最后结合理想气体的状态方程即可求出结果．

解答 解：重物自由下落重力势能转化为动能：$mgh=\frac{1}{2}m{v_0}^2$
碰后速度为$\frac{1}{2}{v_0}=\frac{{\sqrt{2gh}}}{2}$
以封闭气体为对象，有p₁SL₀=p₂S（L₀-△L）
初态对活塞：p₁S-mg-p₀S=0
最大速度对活塞与重物：p₂S-p₀S-2mg=0
对活塞和重物为对象，由动能定理，从碰撞后到最大速度，有：$2mg△L+{P_0}S△L+W=\frac{1}{2}2m{v^2}-\frac{1}{2}2m{（\frac{1}{2}{v_0}）^2}$
解得：$W=m{v^2}-mg（{L_0}+\frac{1}{2}h）$
所以：活塞对气体做功为$W'=mg（{L_0}+\frac{1}{2}h）-m{v^2}$
答：活塞对封闭气体做的功是$mg（{L}_{0}+\frac{1}{2}h）-m{v}^{2}$．

点评 该题不仅仅涉及了则气体的状态方程，还涉及到功能关系以及牛顿第二定律的动态分析，解题的关键是找出活塞的速度最大对应的受力的状态以及气体对应的状态．