Question

19．有一辆质量m=800kg的小汽车行驶上圆弧为r=40m的拱桥，圆心O与右侧平台底部在同一高度上，不考虑空气阻力，把汽车看成质点，g取10m/s²，求：
（1）若汽车到达桥顶时速度为10m/s，则汽车对桥的压力；
（2）汽车以多大速度经过桥顶时恰好对桥顶没有压力而腾空？
（3）汽车以问题2中的速度离开桥顶，刚好落到高h=35m平台上，则平台与圆心O的水平距离x以及汽车落地时的速度．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出桥对汽车的支持力，从而得出汽车对桥的压力大小．
（2）当压力为零时，根据牛顿第二定律求出汽车的速度．
（3）根据高度求出平抛运动的时间，结合初速度和时间求出平台和圆心0的水平距离，根据速度时间公式求出落地的竖直分速度，结合平行四边形定则求出落地的速度．

解答 解：（1）根据牛顿第二定律得：$mg-N=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
解得支持力为：N=mg-$m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$=8000-800×$\frac{100}{40}$N=6000N，
根据牛顿第三定律知，汽车对桥的压力为6000N．
（2）当压力为零时，汽车会没有压力而腾空，根据mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$知：
v=$\sqrt{gr}=\sqrt{10×40}$m/s=20m/s．
（3）根据r-h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得汽车平抛运动的时间为：
t=$\sqrt{\frac{2（r-h）}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×（40-35）}{10}}s=1s$，
平台与圆心O的水平距离为：x=vt=20×1m=20m．
落地的竖直分速度为：v_y=gt=10×1m/s=10m/s，
根据平行四边形定则知，落地的速度为：v=$\sqrt{{v}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{400+100}$m/s=$10\sqrt{5}$m/s．
答：（1）汽车对桥的压力为6000N；
（2）汽车以20m/s速度经过桥顶时恰好对桥顶没有压力而腾空；
（3）平台与圆心O的水平距离为20m，汽车落地时的速度为$10\sqrt{5}$m/s．

点评 本题考查了圆周运动和平抛运动的综合运用，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．