Question

17．如图所示，两根相同的轻质弹簧，中间与质量为m的圆环相连于O位置，另一端各自固定在同一水平线上的P、Q两点，弹簧恰好处于原长L，圆环套在粗糙的竖直细杆上，细杆上的A、B两点关于O点对称，OA=H．现将圆环沿杆拉至A位置由静止释放，当下滑到速度最大时，弹簧与细杆间的夹角为θ，整个过程中，弹簧处于弹性限度范围内．重力加速度为g．求：
（1）圆环过O点时的加速度；
（2）圆环过B点的瞬时速度；
（3）每根轻质弹簧的劲度系数．

Answer 1

分析 （1）到达O点时圆环只受重力作用，由牛顿第二定律可以求出加速度；
（2）由动能定理可以求出经过B点的速度；
（3）当圆环速度最大速度圆环所受合力为零，据此求出弹簧的弹力，然后应用胡克定律求出弹簧的劲度系数．

解答 解：（1）物体下落到O点时只受重力作用，由牛顿第二定律得：
mg=ma，
解得：a=g；
（2）圆环从A到B过程中，弹簧弹力做功为零，圆环不受摩擦力作用，只有重力做功，由动能定理得：
mg•2H=$\frac{1}{2}$mv²-0，
解得：v=2$\sqrt{gH}$；
（3）下落过程中，当环所受合力为零时速度最大，此时有：
2F_弹cosθ=mg，F_弹=$\frac{mg}{2cosθ}$，
弹簧的伸长量为：△x=$\frac{L}{sinθ}$-L，
由胡克定律得：F_弹=k△x，
解得：k=$\frac{mgtanθ}{2L（1-sinθ）}$；
答：（1）圆环过O点时的加速度为g；
（2）圆环过B点的瞬时速度为2$\sqrt{gH}$；
（3）每根轻质弹簧的劲度系数为$\frac{mgtanθ}{2L（1-sinθ）}$．

点评 本题考查了求加速度、速度与弹簧劲度系数问题，分析清楚圆环的运动过程是解题的前提与关键，应用牛顿第二定律、动能定理与胡克定律可以解题，本题难度不大，是一道基础题．