Question

8．如图所示，AE、BE、CE、DE为同一竖直面内的四条光滑固定的倾斜直轨道，A、C、D三点在同一竖直墙上，BCE三点在竖直面内同一个圆周上，圆弧与墙、水平地面相切于C、E 两点，AE、BE、CE、DE与水平地面间的夹角分别为60°、53°、45°、30°．将四个相同的小球，分别从A、B、C、D四点由静止释放，它们运动到E点的时间分别为t₁、t₂、t₃、t₄，则这四个时间的大小关系是（　　）

• A． t₁＞t₃＞t₄＞t₂
• B． t₁＞t₂=t₃＞t₄
• C． t₁=t₄＞t₂=t₃
• D． t₁=t₂=t₃=t₄

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律求解AE、CE、DE的加速度，根据位移时间关系求解时间大小；根据“等时圆”原理分析BE、CE时间，由此得解．

解答 解：由于A、C、D三点在同一竖直墙上，所以对应的斜面底边相等设为d，设某斜面倾角为α，则斜面长为：
L=$\frac{d}{cosα}$，
物体沿斜面下滑的加速度为：
a=$\frac{mgsinα}{m}$=gsinα，
根据位移时间关系可得：
L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
解得：t=$\sqrt{\frac{2d}{gsinαcosα}}=2\sqrt{\frac{d}{gsin2α}}$；
所以有：
t₁=$2\sqrt{\frac{d}{gsin120°}}$=$2\sqrt{\frac{d}{gsin60°}}$
t₃=$2\sqrt{\frac{d}{gsin90°}}=2\sqrt{\frac{d}{g}}$
t₄=$2\sqrt{\frac{d}{gsin60°}}$；
由于BC在同一个圆上，根据“等时圆”原理可知：
t₂=t₃=$2\sqrt{\frac{d}{g}}$．
解得：t₁=t₄＞t₂=t₃，故C正确、ABD错误．
故选：C．

点评 解决本题的关键根据牛顿第二定律求出各段的加速度，运用匀变速直线运动的位移时间公式进行求解；注意“等时圆”原理的应用方法．