Question

6．在如图1所示的装置中，矩形线圈匝数N=100匝，线圈电阻内阻r=3Ω，L₁=1m，L₂=2m，电阻R=3Ω，磁感应强度按图2做周期性变化，板间距为d=0.5m，长为l=1.05m的平行板电容器，在t=0.05s时，有电荷量q=1.6×10^-10c，质量m=3.2×10^-9kg的正离子从距上极板0.2m处以水平速度v_o=1m/s飞入平行板，不计重力．求：
（1）t=0.05s时，平行板间的电压大小？
（2）当离子飞出平行板时，电场力对离子所做的功？

Answer 1

分析 （1）由楞次定律求得电动势，在由串联电路原理根据欧姆定律求得路端电压；
（2）根据路端电压求得电场力、离子在竖直方向上的速度随时间的变化；再由几何关系求得离子运动时间，然后对离子分段求取电场力做的功，累加即可．

解答 解：（1）在t=0.05s时，由于磁场变化，应用楞次定律可得：线圈产生的感应电动势为：
${E_1}=\frac{N△Φ}{△t}=\frac{{N△B{L_1}{L_2}}}{△t}=200V$；
由电路知识可知，对整个回路有：$I=\frac{E_1}{r+R}$
电阻两端电压为：U=IR=100V；
因为平行板电容器与R并联，故其两端电压为100V；
（2）两平行板间电场强度为：
${E_2}=\frac{U}{d}=200V/m$；
离子进入电场后水平方向做匀速，竖直方向做周期性匀变速直线运动（如图）
，
所以，离子不可能打在上级板上，且其在一个周期内的位移为0.2m；
因为离子水平方向做匀速运动，所以，离子若不与极板碰撞，则在平行板间运动的时间为：
$t=\frac{l}{v_0}=1.05s$；
因为粒子进入电场时距离下级板的距离为0.3m，所以，离子将打在下极板上．
粒子在t=0.15s时，位移为0.025m（正向最大），没有接触到上级板；
粒子在t=0.55s时，位移为-0.175m；
则当位移为-0.3m时有：$t=0.85-0.1\sqrt{2}（s）$；
$a=\frac{{q{E_2}}}{m}=10m/{s^2}$；F=ma=3.2×10^-8N，粒子受力如图所示
；
又有粒子在一个周期内F为正时与F为负时的位移相同，所以，一个周期内电场力对离子做功为零，
所以，若无下边界，则离子在0.85s时电场力对离子所做的功为：
${W}_{0.85}=3.2×1{0}^{-8}×0.025J+0+0=8×1{0}^{-10}J$；
在$0.85-0.1\sqrt{2}（s）$到0.85s过程中，电场力对粒子所做的功为：
$W′=3.2×1{0}^{-8}×[-\frac{1}{2}×10×（0.1\sqrt{2}）^{2}]J=-3.2×1{0}^{-9}J$
所以，粒子在穿越电场的过程中，电场力对粒子所做的功为：
$W={W}_{0.85}-W'=4×1{0}^{-9}J$；
答：（1）t=0.05s时，平行板间的电压大小为100V；
（2）当离子飞出平行板时，电场力对离子所做的功为4×10^-9J．

点评 在求解粒子运动问题，一定要考虑电磁场的边界对粒子运动的影响，根据边界条件得到粒子运动时间，进而求得速度、场强、磁感应强度等问题．