Question

15．如图所示，在平面直角坐标系中，第一象限中有一半径为a的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，边界与两个坐标轴相切，A、B是两个阀门（控制粒子的进出），通常情况下处于关闭状态，其连线与X轴平行，B恰好位于Y轴上，坐标为（0，$a+\frac{\sqrt{2}}{2}a$）两阀门间距为d，有一粒子源发射具有沿AB方向各种速度的同一种带正电粒子（粒子所受重力不计），某时刻阀门A开启，$\frac{t}{2}$后A关闭，又过t后B开启，再过$\frac{t}{2}$后B也关闭．由两阀门通过的粒子垂直进入第一象限的圆形磁场中，其中速度最大的粒子离开磁场后，恰好能垂直通过X轴．不考虑粒子间的相互作用，求，
（1）穿过A和B进入磁场的粒子的最大速度和最小速度
（2）最后离开磁场的粒子通过Y轴的坐标
（3）从第一个粒子进入磁场到最后一个粒子离开磁场经历的总时间．

Answer 1

分析 穿过A和B进入磁场的粒子在AB间做匀速直线运动，时间最短时速度最大，时间最长时速度最小；根据几何关系求出速度最大的和速度最小的粒子在磁场中运动半径，利用几何关系速度最大的偏转四分之一圆周垂直x轴射出，速度最小的偏转二分之一圈垂直y轴射出：第三问以B打开为计时起点，最快的正好B，最慢的还需要$\frac{t}{2}$到达B，计算出最快的到达磁场时间，最慢的从打开B到离开磁场的时间，两者之差即是所求时间．

解答 解：（1）A关闭时进入，B打开时通过的粒子具有最大速度，${v}_{1}^{\;}=\frac{d}{t}$
A打开时通过，B关闭时通过的粒子具有最小速度${v}_{2}^{\;}=\frac{d}{2t}$
（2）速度最大的粒子恰好垂直通过x轴，在磁场中运动的几何半径为：${R}_{1}^{\;}=\sqrt{2}a$
根据：$Bqv=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
可得：最小速度的粒子在磁场中运动的半径为：${R}_{2}^{\;}=\frac{\sqrt{2}a}{2}$
由几何关系可得，粒子恰好垂直y轴射出，其坐标为（0，$a-\frac{\sqrt{2}a}{2}$）
（3）设B打开时为零时刻，最快粒子到达磁场需要时间：${t}_{1}^{\;}=\frac{a-\frac{\sqrt{2}}{2}a}{d}t$
最慢粒子由B到达磁场所用时间：${t}_{2}^{\;}=\frac{a-\frac{\sqrt{2}}{2}a}{d}2t$
最慢粒子在磁场中运动的时间：${t}_{3}^{\;}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}πa}{d}2t$
第一个粒子进入磁场到最后一个粒子离开磁场经历的总时间
$△t=\frac{t}{2}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}-{t}_{1}^{\;}$
得：$△t=\frac{t}{2}+\frac{a}{d}（1-\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}π）t$
答：（1）穿过A和B粒子的最大速度$\frac{d}{t}$，最小速度$\frac{d}{2t}$
（2）最后通过磁场的粒子通过Y轴的坐标（0，$a-\frac{\sqrt{2}a}{2}$）
（3）第一个粒子进入磁场到最后一个粒子离开磁场经历的总时间$\frac{t}{2}+\frac{a}{d}（1-\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}π）t$

点评 本题是带电粒子在匀强磁场中运动的问题，分析粒子的受力情况，确定其运动情况，第三问比较难，关键是要理清运动的过程，弄清物理情景．