Question

12．质量为m、电量为+q的带电粒子，以某一初速度垂直磁场方向进入磁感应强度为B的匀强磁场，粒子在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O，半径为r．可将带电粒子的运动等效为一环形电流，环的半径等于粒子的轨道半径．不计重力影响．
（1）求粒子在磁场中做圆周运动线速度的大小v；
（2）求等效环形电流的大小I；
（3）若在O点固定一个点电荷A．粒子射入磁场的位置和速度方向保持不变．当原有磁场大小、方向都不变时，改变粒子射入磁场的初速度的大小，仍可使粒子绕O做半径为r的匀速圆周运动；当原有磁场方向反向，而磁感应强度B的大小不变时，再改变粒子射入磁场的初速度的大小，还能使粒子绕O做半径为r的圆周运动．两次所形成的等效电流之差的绝对值为△I，求△I的表达式．

Answer 1

分析 （1）由洛伦兹力做向心力可解得v；
（2）由电流等于某一横截面单位时间通过的电量，而电量即带电粒子所带电量乘以单位时间带电粒子绕的圈数；
（3）分析两种情况受力情况，向心力构成；写出等效电流的表达式，转化为向心力公式中的量，并由向心力公式解得等效电流之差．

解答 解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力做向心力，所以，有：$Bvq=m\frac{v^2}{r}$，解得：$v=\frac{Bqr}{m}$；
（2）电量为+q的带电粒子做$v=\frac{Bqr}{m}$的匀速圆周运动，周期$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{Bq}$，即相当于环形电流任一截面在周期T内通过电量q；
所以，等效环形电流为：$I=\frac{q}{T}=\frac{{B{q^2}}}{2πm}$；
（3）当磁场反向时，洛仑兹力方向也会相反，粒子仍绕O做半径为r的圆周运动，所以，点电荷A对带电粒子的库仑力F一定指向圆心，所有，A带负电．
磁场反向前粒子的速度为v₁，有$B{v_1}q+{F_{\;}}=\frac{mv_1^2}{r}$，所以，${F_{\;}}=\frac{mv_1^2}{r}-B{v_1}q$，
磁场反向后粒子的速度为v₂，有$-B{v_2}q+F=m\frac{v_2^2}{r}$，所以，$F=m\frac{v_2^2}{r}+B{v_2}q$，
等效电流$I=\frac{q}{T}=\frac{qv}{2πr}$，
两次形成等效电流分别${I_1}=\frac{{q{v_1}}}{2πr}$，${I_2}=\frac{{q{v_2}}}{2πr}$
因为v₁＞v₂，所以，I₁＞I₂；
所以，两次所形成的等效电流之差的绝对值$△I={I_1}-{I_2}=\frac{{q（{v_1}-{v_2}）}}{2πr}$
${F_{\;}}=\frac{mv_1^2}{r}-B{v_1}q$=$m\frac{v_2^2}{r}+B{v_2}q$
所以，$\frac{m}{r}（{{v}_{1}}^{2}-{{v}_{2}}^{2}）=Bq（{v}_{1}+{v}_{2}）$，
所以，$\frac{m}{r}（{v}_{1}-{v}_{2}）=Bq$，
所以，${v}_{1}-{v}_{2}=\frac{Bqr}{m}$，
故可得$△I=\frac{{B{q^2}}}{2πm}$．
答：（1）粒子在磁场中做圆周运动线速度为$\frac{Bqr}{m}$；
（2）等效环形电流大小为$\frac{{B{q^2}}}{2πm}$；
（3）两次所形成的等效电流之差的绝对值$△I=\frac{{B{q^2}}}{2πm}$．

点评 物体做匀速圆周运动，向心力与质量、半径、速度的关系通常用在卫星或带电粒子（在磁场中的运动）中的变轨、两不同条件、两不同卫星或粒子情况下的比较．