Question

2．甲，乙两颗人造卫星在同一平面内沿同一方向做匀速圆周运动，甲卫星距离地面的高度是地球半径的$\frac{1}{2}$，乙卫星距离地面的高度是地球半径的5倍．某时刻两卫星相距最近，问：经过多少个乙卫星做圆周运动的周期，两卫星第一次相距最远？

Answer 1

分析 卫星做速圆周运动，根据开普勒第三定律--周期定律可求周期之比．某时刻两卫星正好同时通过地面上同一点的正上方，当两颗卫星转动角度相差π时，相距最远．

解答 解：（1）由题甲乙两卫星的轨道分别为 r₁=$\frac{3R}{2}$，r₂=6R
由开普勒行星运动规律$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}=k$，k相同，则得$\frac{{r}_{1}^{3}}{{T}_{1}^{2}}=\frac{{r}_{2}^{3}}{{T}_{2}^{2}}$
所以$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\frac{{r}_{1}^{\frac{3}{2}}}{{r}_{2}^{\frac{3}{2}}}$=$\frac{1}{8}$
设经过t时间 二者第一次相距最远，若两卫星同向运转，此时甲比乙多转π角度，
则  $\frac{2π}{{T}_{1}}t-\frac{2π}{{T}_{2}}t=π$
这段时间乙经过的周期数为n=$\frac{t}{{T}_{2}}$
解得，n=$\frac{1}{14}$
答：经过$\frac{1}{14}$个乙卫星做圆周运动的周期，两卫星第一次相距最远．

点评 本题既可应用万有引力提供向心力求解，也可应用开普勒行星运动定律求解，以后者较为方便，两卫星何时相距最远的求解，要分同向运转与反向运转两种情形，用到的数学变换相对较多，增加了本题难度．