Question

10．如图所示，电动机带动滚轮逆时针匀速转动，放下滚轮压紧金属板，在滚轮摩擦力的作用下，将金属板从倾角θ=37°斜面底端A送往上部，滚轮与金属板的切点B到斜面底端A的距离为L=7.0m．当金属板的下端运动到切点B处，立即提起滚轮使它与板脱离接触．已知金属板之后返回斜面底部与挡板相撞后立即静止，此时放下滚轮再次压紧金属板，再次将金属板从A端送往斜面上部，如此往复，已知斜面足够长，金属板的质量为m=1.0×10³kg，金属板与斜面间的动摩擦因数μ₁=0.25，滚轮边缘线速度恒为v=4.0m/s，滚轮对金属板的压力F_N=3.2×10⁴N，滚轮与金属板间的动摩擦因数为μ₂=0.55，求金属板往复运动的周期T．（忽略金属板与挡板的碰撞时间，取sin37°=0.6，g=10m/s²）

Answer 1

分析 对金属板加速上升过程进行受力分析，然后根据牛顿第二定律即可求加速度，明确一个周期金属板有匀加速上升、匀速上升、滚轮脱离金属板后匀变速运动三个过程，然后根据运动学公式分别求出对应的时间即可．

解答 解：在滚轮的作用下，金属板加速的加速度为a₁，根据牛顿第二定律得：
μ₂F_N-mgsinθ-μ₁（mgcosθ+F_N）=ma₁
板加速至与滚轮速度相同时前进的距离为${x}_{1}=\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$，
在滚轮的作用下加速上升的时间${t}_{1}=\frac{v}{{a}_{1}}$，
在滚轮作用下匀速上升的时间${t}_{2}=\frac{L-{x}_{1}}{v}$，
离开滚轮后上升时加速度大小为a₂，则mgsinθ+μ₁mgcosθ=ma₂，
离开滚轮后上升的时间${t}_{3}=\frac{v}{{a}_{2}}$，
离开滚轮后上升的距离${x}_{3}=\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}$，
离开滚轮后向下运动的总距离x=L+x₃，
离开滚轮后向下运动时加速度大小为a₃，则mgsinθ-μ₁mgcosθ=ma₃
离开滚轮后向下运动的总时间为t₄，则$x=\frac{1}{2}{a}_{3}{{t}_{4}}^{2}$，
则往复运动的周期T=t₁+t₂+t₃+t₄=5.5s
答：金属板往复运动的周期T为0.55s

点评 解决动力学问题的关键是研究对象进行物理过程分析和受力分析，然后根据不同的过程选择相应的规律即可求解．