Question

5．一质量m=0.1kg的物块放在水平圆盘上，木块与圆盘间的动摩擦因数μ=0.5，木块与圆盘中心用劲度系数k=5N/m的弹簧相连，弹簧原长L₀=5cm，要使木块与圆盘保持相对静止，则以下两种情况下圆盘的角速度大小范围：
（1）木块放在距圆盘中心r₁=5cm处；
（2）弹簧形变量△x=2cm时．（弹簧弹性限度内）

Answer 1

分析 （1）木块放在距圆盘中心r₁=5cm处，弹簧弹力为零，靠静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大静摩擦力时，角速度最大，根据向心力公式求解；
（2）弹簧形变量△x=2cm时，先根据胡克定律求出弹簧弹力，再与最大静摩擦力比较，看圆盘的角速度能否取零，再分弹簧被压缩和拉伸两种情况讨论即可．

解答 解：（1）木块放在距圆盘中心r₁=5cm=0.05m处，弹簧弹力为零，靠静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大静摩擦力时，角速度最大，
则有：μmg=mω²r₁
解得：$ω=\sqrt{\frac{0.5×10}{0.05}}=10rad/s$，
则圆盘的角速度大小范围为0≤ω≤10rad/s，
（2）弹簧形变量△x=2cm=0.02m时，则弹簧弹力F=k△x=5×0.02=0.1N，最大静摩擦力f=μmg=0.5×0.1×10=0.5N，
F＜f，则最小角速度可以为0，
若弹簧被拉伸，当静摩擦力达到最大静摩擦力时，角速度最大，则有：
$F+f=m{{ω}_{1}}^{2}{（L}_{0}+△x）$
解得：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{600}{7}}$rad/s，
则角速度范围为0≤ω₁≤$\sqrt{\frac{600}{7}}$rad/s，
若弹簧被压缩，当静摩擦力达到最大静摩擦力时，角速度最大，则有：
$f-F=m{{ω}_{2}}^{2}{（L}_{0}-△x）$
解得：${ω}_{2}=\sqrt{\frac{400}{3}}$rad/s
则角速度范围为0≤ω₂≤$\sqrt{\frac{400}{3}}$rad/s，
答：（1）木块放在距圆盘中心r₁=5cm处时，圆盘的角速度大小范围为0≤ω≤10rad/s；
（2）弹簧形变量△x=2cm时，若弹簧被拉伸，圆盘的角速度大小范围为0≤ω≤$\sqrt{\frac{600}{7}}$rad/s；
若弹簧被压缩，圆盘的角速度大小范围为0≤ω≤$\sqrt{\frac{400}{3}}$rad/s．

点评 本题主要考查了向心力公式的直接应用，要求同学们能正确分析木块的受力情况，知道当静摩擦力达到最大静摩擦力时，角速度最大，同时第二问要分两种情况讨论，难度适中．