Question

11．如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad边的中点O处垂直磁场射入一速度方向跟ad边夹角为30°、大小为v₀的带正电粒子，已知粒子质量为m，电量为+q，ad边长为L，粒子重力不计，求：
（1）粒子能从ab边上射出磁场的v₀大小范围．
（2）问粒子在磁场中运动的最长时间是多少？在这种情况下，粒子v₀大小范围．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，当其轨迹恰好与ab边相切时，轨迹半径最小，对应的速度最小．当其轨迹恰好与cd边相切时，轨迹半径最大，对应的速度最大，由几何知识求出，再牛顿定律求出速度的范围．
（2）粒子轨迹所对圆心最大时，在磁场中运动的最长时间．当其轨迹恰好与ab边相切或轨迹更小时，时间最长，求出圆心角，再求时间．

解答 解：（1）若粒子速度为v₀，粒子在磁场中做匀速圆周运动，
由牛顿第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，
设圆心在O₁处，对应圆弧与ab边相切，相应速度为v₀₁，
由几何知识得：R₁+R₁sinθ=$\frac{L}{2}$，
类似地，设圆心在O₂处，对应圆弧与cd边相切，相应速度为v₀₂，
由几何知识得：R₂-R₂sinθ=$\frac{L}{2}$，
所以粒子能从ab边上射出磁场的v₀应满足：$\frac{qBL}{3m}$＜v₀≤$\frac{qBL}{m}$；
（2）在磁场中运动的半径r≤R₁时，运动时间最长，弧所对圆心角为（2π-2θ），
粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子在磁场中的运动时间：t=$\frac{α}{2π}$T，
粒子在磁场中运动的最长时间：t=$\frac{2（π-θ）m}{qB}$=$\frac{5πm}{3qB}$，
粒子速度：v₀≤$\frac{qBL}{m}$；
答：（1）粒子能从ab边上射出磁场的速度v₀的大小范围是$\frac{qBL}{3m}$＜v₀≤$\frac{qBL}{m}$；
（2）粒子在磁场中运动的最长时间是：$\frac{5πm}{3qB}$，在这种情况下，粒子v₀大小范围为：v₀≤$\frac{qBL}{m}$．

点评 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动解题一般程序是
  1、画轨迹：确定圆心，几何方法求半径并画出轨迹．
  2、找联系：轨迹半径与磁感应强度、速度联系；偏转角度与运动时间相联系，时间与周期联系．
  3、用规律：牛顿第二定律和圆周运动的规律．