Question

3．如图所示，竖直放置的质量为4m、长为L的圆管顶端塞有一个质量为m的弹性圆球，球和管间的滑动摩擦力和最大静摩擦力大小均为4mg．圆管从下端离地面距离为H处自由落下，落地后向上弹起的速度与落地时速度大小相等．不计空气阻力．求：
（1）管第一次碰地前瞬间速度大小以及管第一次碰地后瞬间球、管各自的加速度．
（2）为使圆管第一次弹起后圆球不致滑落，L应满足什么条件？
（3）若圆管足够长（能保证圆球始终不滑落），则圆管从开始自由落下到最终停在地面上运动的总路程是多少？（结果用H表示）

Answer 1

分析 （1）由运动学公式求出圆管底端落地前瞬间的速度．根据牛顿第二定律分别求出管反弹后，球和管的加速度；
（2）根据v₀²=2gH求出圆管底端落地前瞬间的速度．根据牛顿第二定律分别求出管反弹后，球和管的加速度，从而得知球相对于管的加速度，以管为参考系，根据速度位移公式求出球相对于管静止时的相对位移，即可求解；
（3）由运动学公式分析出球与管先达到相对静止，再以共同速度上升至最高点，根据运动学公式和牛顿第二定律求出管每次弹起的高度，再求出总路程；

解答 解：（1）球与管第一次碰地前瞬间速度${v}_{0}^{\;}=\sqrt{2gH}$
碰后，管受重力及向下的摩擦力：4mg+f=4ma_管
球受重力及向上的摩擦力：f-mg=ma_球
其中f=4mg
所以 a_管=2g，方向向下   a_球=3g，方向向上
（2）取竖直向下的方向为正方向，取管为参照物，则球与管相对静止前，球相对管的加速度a_相=5g，方向向上．
碰地后瞬间管的速度${v}_{管}^{\;}=-\sqrt{2gH}$，方向向上；球的速度${v}_{球}^{\;}=\sqrt{2gH}$，方向向下，
球相对于管的速度${v}_{相}^{\;}=2\sqrt{2gH}$，方向向下．
球相对管下滑的距离为：
${s}_{相1}^{\;}=\frac{{v}_{相}^{2}}{2{a}_{相}^{\;}}=\frac{（2\sqrt{2gH}）_{\;}^{2}}{2×5g}=\frac{4}{5}H$
要满足球不滑出圆管，则有$L＞{s}_{相1}^{\;}=\frac{4}{5}$H
（3）设管从碰地到它弹到最高点所需时间为t₁（设球与管在这段时间内摩擦力方向不变），则：${t}_{1}^{\;}=\frac{-{v}_{管}^{\;}}{{a}_{管}^{\;}}=\frac{\sqrt{2gH}}{2g}$
设管从碰地到与球相对静止所需时间为t₂，${t}_{2}^{\;}=\frac{-{v}_{相}^{\;}}{{a}_{相}^{\;}}=\frac{2\sqrt{2gH}}{5g}$
因为t₁＞t₂，说明球与管先达到相对静止，再以共同速度上升至最高点，设球与管达到相对静止时离地高度为h′，两者共同速度为v′，分别为：
$v′={v}_{管}^{\;}-{a}_{管}^{\;}{t}_{2}^{\;}=\frac{1}{5}\sqrt{2gH}$
$h′={v}_{管}^{\;}{t}_{2}^{\;}-\frac{1}{2}{a}_{管}^{\;}{t}_{2}^{2}=\frac{12}{25}$H
然后球与管再以共同速度v’作竖直上抛运动，再上升高度h’’为
h″=$\frac{v{′}_{\;}^{2}}{2g}=\frac{（\frac{1}{5}\sqrt{2gH}）}{2g}=\frac{1}{25}$H
因此，管第一次上升最大高度H₁=h′+h″=$\frac{13}{25}$H
同理，管第二次上升最大高度H₂=$\frac{13}{25}{H}_{1}^{\;}$
以此类推，…
所以总路程S=H+2（H₁+H₂+…）=$\frac{19}{6}$H
答：（1）管第一次碰地前瞬间速度大小以及管第一次碰地后瞬间球、管各自的加速度为$\sqrt{2gH}$、3g、2g．
（2）为使圆管第一次弹起后圆球不致滑落，L应满足条件L＞$\frac{4}{5}$H
（3）若圆管足够长（能保证圆球始终不滑落），则圆管从开始自由落下到最终停在地面上运动的总路程是$\frac{19}{6}$H

点评 本题的难点在于管和球的运动情况难于判断，关键通过计算理清球和管的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．