Question

7．如图甲所示，宽为L，倾角为θ的平行金属导轨，下端垂直于导轨连接一阻值为R的定值电阻，导轨之间加垂直于轨道平面的磁场，其随时间变化规律如图乙所示．t=0时刻磁感应强度为B₀，此时，在导轨上距电阻x₁．处放一质量为m，电阻为2R的金属杆，t₁时刻前金属杆处于静止状态，当磁场即将减小到B₁时，金属杆也即将开始下滑（金属杆所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力）．

（1）求0-t₁时间内通过定值电阻的电荷量；
（2）求金属杆与导轨间的最大静摩擦力；
（3）若金属杆沿导轨下滑x₂后开始做匀速运动，求金属杆下滑x₂过程中，电阻R产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律求出感应电动势，由闭合电路的欧姆定律得出感应电流，从而求出电荷量；
（2）根据受力平衡求出金属杆与导轨间的最大静摩擦力；
（3）金属杆达到最大速度时，加速度等于零，受力平衡，即此时感应电流与$0-{t}_{1}^{\;}$时间内感应电流大小相等，感应电动势也相等．由开始运动到最大速度过程，根据能量守恒列式，从而求出整个电路产生的焦耳热，从而求出电阻R上的焦耳热．

解答 解：（1）感应电动势：$E=\frac{△φ}{△t}$=$\frac{L{x}_{1}^{\;}（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）}{{t}_{1}^{\;}}$
感应电流$I=\frac{E}{3R}$
通过定值电阻的电荷量$q=I•△t=I•{t}_{1}^{\;}$
即$q=\frac{（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）L{x}_{1}^{\;}}{3R}$
（2）在${t}_{1}^{\;}$时刻，对杆有：
$mgsinθ-{f}_{m}^{\;}-{F}_{安}^{\;}=0$
其中${F}_{安}^{\;}={B}_{1}^{\;}IL$
联立可得：${f}_{m}^{\;}=mgsinθ-\frac{{B}_{1}^{\;}（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）{L}_{\;}^{2}{x}_{1}^{\;}}{3R{t}_{1}^{\;}}$
（3）当金属杆达到最大速度时
$mgsinθ-{f}_{m}^{\;}-{F}_{安}^{′}=0$
即此时感应电流与$0-{t}_{1}^{\;}$时间内感应电流大小相等，感应电动势也相等．
所以${B}_{1}^{\;}Lv=\frac{L{x}_{1}^{\;}（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）}{{t}_{1}^{\;}}$
从开始到达到最大速度过程
$mg{x}_{2}^{\;}sinθ={Q}_{焦}^{\;}+{Q}_{滑}^{\;}+\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
其中${Q}_{滑}^{\;}={f}_{m}^{\;}{x}_{2}^{\;}$
电阻R上产生的焦耳热
${Q}_{R}^{\;}=\frac{1}{3}{Q}_{焦}^{\;}$
解得：${Q}_{R}^{\;}=\frac{{B}_{1}^{\;}（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）{L}_{\;}^{2}{x}_{1}^{\;}{x}_{2}^{\;}}{9R{t}_{1}^{\;}}$$-\frac{m{x}_{1}^{2}（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}}{6{B}_{1}^{2}{t}_{1}^{2}}$
答：（1）0-t₁时间内通过定值电阻的电荷量$\frac{（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）L{x}_{1}^{\;}}{3R}$；
（2）金属杆与导轨间的最大静摩擦力$mgsinθ-\frac{{B}_{1}^{\;}（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）{L}_{\;}^{2}{x}_{1}^{\;}}{3R{t}_{1}^{\;}}$；
（3）若金属杆沿导轨下滑x₂后开始做匀速运动，金属杆下滑x₂过程中，电阻R产生的焦耳热为$\frac{{B}_{1}^{\;}（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）{L}_{\;}^{2}{x}_{1}^{\;}{x}_{2}^{\;}}{9R{t}_{1}^{\;}}-$$\frac{m{x}_{1}^{2}（{B}_{0}^{\;}-{B}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}}{6{B}_{1}^{2}{t}_{1}^{2}}$．

点评 此题综合考查了法拉第电磁感应定律以及能量守恒定律的应用；解题时要认真分析物理过程，结合题目所给的B-t图象求解电动势，搞清物体在运动过程中的能量转化关系．