Question

4．如图所示，在xOy坐标系中，坐标原点O处有一点状的放射源，它向xOy平面内的x轴上方各个方向发射α粒子，α粒子的速度大小均为v₀，在0＜y＜d的区域内分布有指向y轴正方向的匀强电场，场强大小为E=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2qd}$，其中q与m分别为α粒子的电量和质量；在d＜y＜2d的区域内分布有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，mn为电场和磁场的边界．ab为一块很大的平面感光板垂直于xOy平面且平行于x轴，放置于y=2d处，如图所示．观察发现此时恰好无粒子打到ab板上（不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用），求：
（1）α粒子通过电场和磁场边界mn时的速度大小及距y轴的最大距离；
（2）磁感应强度B的大小．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动规律可求出粒子到达的最远距离；根据动能定理求出α粒子刚进人磁场时的动能．
（2）粒子沿x轴正方向射出的粒子进入磁场偏转的角度最大，若该粒子进入磁场不能打在ab板上，则所有粒子均不能打在ab板上．根据带电粒子在电场中类平抛运动，求出进入磁场中的偏转角度，结合几何关系得出轨道半径，从而得出磁感应强度的大小．

解答 解：（1）据题意，当α粒子沿x轴方向运动时，做类平抛运动，当运动到mn上时与y轴距离最大有：
由平抛运动规律可知：
竖直方向上：d=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
水平方向：x=v₀t
粒了孤加速度：a=$\frac{qE}{m}$
而由题意可知：E=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qd}$
联立解得：最远距离为：x=$\frac{2\sqrt{3}d}{3}$
根据动能定理可以求得α粒子通过电场和磁场边界mn时的速度大小为：
qEd=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得v=2v₀；
（2）要使粒子打不到屏ab上，沿x轴方向向右运动的粒子通过mn后继续运动，刚好与屏ab相切，则有：
R+Rsin30°=d
R=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$
解得：B=$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$
答：（1）α粒子通过电场和磁场边界mn时的速度大小为2v₀；及距y轴的最大距离为$\frac{2\sqrt{3}d}{3}$
（2）磁感应强度B的大小为$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$

点评 本题考查了带电粒子在电场和磁场中的运动，关键确定粒子运动的临界情况，通过几何关系解决，对学生数学几何能力要求较高．注意粒子在电场中时要利用运动的合成和分解规律求解．