Question

（2008?威海模拟）2007年10月24日，“嫦娥一号”探月卫星发射成功，实现了中华民族千年的奔月梦想．2007年11月5日，“嫦娥一号”探月卫星变轨成功，开始绕月做匀速圆周运动．已知探月卫星距月球表面的高度为h绕月球做匀速圆周运动的周期为T，月球的半径为R，引力常量为G，忽略其它天体对探月卫星的引力作用，试求：
（1）探月卫星的线速度的大小；
（2）月球的平均密度；
（3）月球第一宇宙速度的大小．

Answer 1

分析：（1）根据圆周运动的知识v=

2πr

T

求出探月卫星线速度的大小；
（2）根据万有引力提供向心力，列出等式求出中月球的质量，再根据密度定义求解密度；
（3）月球第一宇宙速度是靠近月球的环绕速度，由万有引力提供向心力求解．

解答：解：（1）探月卫星线速度的大小为：v=

2π(h+R)

T

；
（2）设月球的质量为M，其平均密度为

.

ρ

，探月卫星的质量为m，月球对探月卫星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，所以：G=

Mm

(h+R)2

=m(h+R)

4π2

T2

；
解得月球的质量为：M=

4π2(R+h)3

GT2

；
由于：M=

4

3

πR3

.

ρ

；
联立解得月球的平均密度为：

.

ρ

=

3π(R+h)3

GT2R2

；
（3）设月球第一宇宙速度的大小为v₁，由于：G

Mm

R2

=m

v 2 1

R

；
解得：v1=

2π(R+h)

T

R+h R

；
答：（1）探月卫星的线速度的大小为

2π(h+R)

T

；
（2）月球的平均密度为

3π(R+h)3

GT2R2

；
（3）月球第一宇宙速度的大小为

2π(R+h)

T

R+h R

．

点评：能正确根据卫星运动时的向心力由万有引力提供列出等式求解，第一宇宙速度也是近星的环绕速度．