Question

11．如图，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内．小球A、B质量分别为m、βm（β为待定系数）．A球从在边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为$\frac{1}{4}$R，碰撞中无机械能损失．重力加速度为g．试求：
（1）待定系数β；
（2）第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力．

Answer 1

分析 （1）由题，碰撞中无机械能损失，以AB组成的系统研究，由机械能守恒定律研究A球从静止开始下滑到碰撞后A、B球达到的最大高度的过程，可求出待定系数β；
（2）碰撞后，A、B两球各自的机械能守恒，可求出碰撞后的速度，B球由轨道的支持力和重力的合力提供向心，由牛顿运动定律求解B球对轨道的压力；

解答 解（1）A球从静止开始下滑到碰撞后A、B球达到的最大高度的过程，由机械能守恒定律得
 $mgR=\frac{mgR}{4}+\frac{βmgR}{4}$
解得：β=3
（2）设 A、B 碰撞后的速度分别为 v₁、v₂，则
$\frac{1}{2}m{v_1}^2=\frac{mgR}{4}$
$\frac{1}{2}βm{v_2}^2=\frac{βmgR}{4}$
设向右为正、向左为负，解得  ${v_1}=-\sqrt{\frac{1}{2}gR}$，方向向左 ${v_2}=\sqrt{\frac{1}{2}gR}$，方向向右
设轨道对 B 球的支持力为 N，B 球对轨道的压力为N′，方向竖直向上为正、向下为负．则$N-βmg=βm\frac{{{v_2}^2}}{R}$，N'=-N=-4.5mg，方向竖直向下．
答：（1）待定系数β是3．
（2）第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度为$-\sqrt{\frac{1}{2}gR}$，方向向左和$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$，方向向右；B球对轨道的压力是4.5mg，方向竖直向下．

点评 两球发生弹性碰撞，遵守两大守恒：机械能守恒和动量守恒，要灵活选择研究对象和研究的过程，难度适中．