Question

2007年10月24日，我国自主研发的“嫦娥一号”探月卫星发射升空，先后经历调相轨道、地月转移轨道、月球捕获轨道三个阶段（如图所示）．于11月5日与月球“相会”，实现了中华民族千年奔月的梦想．根据相关信息，完成下列计算：
（1）10月31日17时28分，“嫦娥一号”卫星发动机关闭，轨道控制结束．卫星进入地月转移轨道．已知地球质量约为月球质量的81倍，地球到月球直线距离约为38万公里，则卫星在地月连线上受到地球和月球引力相等时大约距月球多远？（结果取一位有效数字）
（2）11月7日8点34分“嫦娥一号”第三次近月制动成功，卫星在距月球表面高h的圆形轨道上绕月球做周期T的匀速圆周运动．已知月球的半径R_月，引力常量G，忽略地球对卫星的引力作用，据此计算月球的质量（用G、T、h、R_月表示）．

Answer 1

分析：1、卫星在地月连线上受到地球和月球引力相等，根据万有引力定律的表达式列式计算即可．
2、卫星在月球表面做匀速圆周运动，由月球的万有引力提供向心力，列出等式求出中心体的质量．

解答：解：（1）由万有引力定律：当卫星在地月连线上受到地球和月球引力相等时，有
G

M地m

r12

=G

M月m

r22

又：r1+r2=3.8×105km

M地

M月

=

81

1

解得：此卫星距离月球的距离为r₂=4×10⁴km
（2）月球对“嫦娥一号”的万有引力提供其做圆周运动的向心力．
由G

M月m

(R月+h)2

=m(R+h)

4π2

T2

得：M月=

4π2(R月+h)3

GT2

答：（1）卫星在地月连线上受到地球和月球引力相等时大约距月球4×10⁴km．
（2）月球的质量为

4π2(R月+h)3

GT2

．

点评：已知卫星的运行周期和轨道半径，可求出月球的质量，关键要能运用万有引力提供向心力．