Question

如图所示，一不可伸长的轻质细绳，绳长为L一端固定于O点，另一端系一质量为m的小球，小球绕O点在竖直平面内做圆周运动（不计空气助力），小球通过最低点时的速度为v．
（1）求小球通过最低点时，绳对小球拉力F的大小；
（2）若小球运动到最低点或最高点时，绳突然断开，两种情况下小球从抛出到落地水平位移大小相等，求O点距地面的高度h；
（3）在（2）中所述情况下试证明O点距离地面高度h与绳长l之间应满足
h≥

3

2

l．

Answer 1

分析：（1）小球通过最低点时，绳对小球拉力F和重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求拉力F；
（2）若小球运动到圆心最低点时，绳突然断开，小球落地前将做平抛运动，根据机械能守恒定律求落地时小球速度．
（3）小球运动到最高点时向心力最小值为mg，根据牛顿第二定律求得小球到达最高点的最小速度，从最高点到最低点，运用机械能守恒列式即可证明．

解答：解：（1）根据向心力公式 F-mg=m

v2

L

 有：F=mg+m

v2

L

；
（2）小球运动到最低点，绳突然断开后小球做平抛运动时间为t，
则 h-L=

1

2

gt2，
   x=vt
设运动到最高点速度为v′，由机械能守恒得：
  2mgL+

1

2

mv′2=

1

2

mv2
小球运动到最高点绳断开后小球做平抛运动时间为t′，
则 h+L=

1

2

gt′2，
  x′=v′t′
又 x=x′
联立上述各式解得：h=

v2

2g

-L
（3）小球运动到最高点时向心力最小值为mg，则有：mg≤m

v′2

L

所以 v′≥

gL

那么由机械能守恒定律：
 2mgL+

1

2

mv′2=

1

2

mv2
小球运动到最低点时速度有 v≥

5gL

故由（2）问结果 h=

v2

2g

-L≥

5gL

2g

-L=

3

2

L，即h≥

3

2

L．得证．
答：（1）小球通过最低点时，绳对小球拉力F的大小为mg+m

v2

L

；（2）O点距地面的高度h为

v2

2g

-L；（3）证明O点距离地面高度h与绳长l之间应满足h≥

3

2

L见上．

点评：本题是圆周运动与平抛运动的综合，运用牛顿运动定律和机械能守恒结合进行研究，对于平抛运动，也可以运用分解的方法求小球落地速度．