Question

13．如图所示，在倾角θ=37°足够长的固定斜面上，有一质量m=1kg的物体，物体与斜面间的动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，物体在恒力F的作用下从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，经2s运动了10m．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²），求：
（1）物体沿斜面运动的加速度大小；
（2）作用在物体上的恒力F的最小值及其与斜面的夹角．

Answer 1

分析 （1）由匀变速运动的位移公式求出加速度．
（2）对物体进行受力分析，结合牛顿第二定律即可求出恒力F的最小值及其与斜面的夹角．

解答 解：（1）物体的初速度等于0，2s内的位移是10m，由：x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$    ①
所以：a=$\frac{2x}{{t}^{2}}=\frac{2×10}{{2}^{2}}=5m/{s}^{2}$
（2）物体受到重力、斜面的支持力和摩擦力，拉力F的作用，如图：

沿斜面方向：Fcosα-mgsin37°-μN=ma   ②
垂直于斜面的方向：Fsinα+N=mgcos37°   ③
联立②③得：F=$\frac{16}{cosα+\frac{\sqrt{3}}{3}sinα}$
令$cosβ=\frac{1}{\sqrt{1+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}}$，$sinβ=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{1+{（\frac{\sqrt{3}}{3}）}^{2}}}$
则：$cosα+\frac{\sqrt{3}}{2}sinα$=$\sqrt{1+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}（cosαcosβ+sinαsinβ）$=$\sqrt{\frac{4}{3}}cos（α-β）$
即当α=β时，cos（α-β）=1，F具有最小值，此时：$cosβ=\frac{1}{\sqrt{1+{（\frac{\sqrt{3}}{3}）}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
所以：α=β=30°，$F=8\sqrt{3}$N
答：（1）物体沿斜面运动的加速度大小是5m/s²；
（2）作用在物体上的恒力F的最小值是$8\sqrt{3}$N，此时其与斜面的夹角是30°．

点评 本题是一道力学综合题，分析清楚物体运动过程是正确解题的关键，应用牛顿第二定律与运动学公式可以解题．