Question

19．如图所示，在xoy坐标系第二象限内有一圆形匀强磁场区域，半径为l₀，圆心O′坐标为（-l₀，l₀），磁场方向垂直xoy平面．在坐标（-l₀，2l₀）的P点，两个电子a、b以相同的速率v沿不同方向从P点同时射入磁场，电子a的入射方向为y轴负方向，b的入射方向与y轴负方向夹角为θ=45°．电子a经过磁场偏转后从y轴上的 Q（0，l₀）点进入第一象限，在第一象限内紧邻y轴有沿y轴正方向的匀强电场，场强大小为$\frac{m{v}^{2}}{e{l}_{0}}$，匀强电场宽为$\sqrt{2}$l₀．已知电子质量为m、电荷量为e，不计重力及电子间的相互作用．求：
（1）磁场的磁感应强度B的大小
（2）a、b两个电子经过电场后到达x轴的坐标差△x
（3）a、b两个电子从P点运动到达x轴的时间差△t．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由几何关系可知电子的运动半径，由洛仑兹力充当向心力可求得磁感应强度B；
（2）电子在电场中做类平抛运动，其中b粒子离开电场后做直线运动，由运动学规律可求得两电子到达x轴上的坐标值，进而求得坐标差
（3）分别求出两电子在磁场和电场中的时间，即可求得两电子从P运动到x轴的时间差．

解答 解：（1）
两电子轨道如图，有图可知，a电子做圆周圆周运动的半径为R=l₀
$Bve=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得B=$\frac{mv}{e{l}_{0}}$
（2）a在电场中$y=\frac{1}{2}{at}_{1}^{2}$
$a=\frac{eE}{m}$
$\sqrt{2}{l}_{0}=v{t}_{2}$
可得y=l₀，即a电子恰好击中x轴上的$\sqrt{2}{l}_{0}$位置，
对b分析可知PO′NO″为菱形，所以PO′与O″N平行，有因PO′垂直于x轴，所以粒子出场速度平行于x轴，即b粒子经过磁场偏转后也恰好沿x轴正方向进入电场
由${y}_{b}=r+rcos45°={l}_{0}+\frac{\sqrt{2}}{2}{l}_{0}$
当b在电场中沿y方向运动l₀后，沿与x轴方向成θ做匀速直线运动，
tan$θ=\frac{{v}_{y}}{v}$
v_y=at₁
由tan$θ=\sqrt{2}$
可得$tanθ=\frac{{y}_{b}-{y}_{a}}{△x}$
解得$△x=\frac{{l}_{0}}{2}$
（3）在磁场中，由t=$\frac{2π{l}_{0}}{v}$
ab在磁场中运动的时间差为△t₁
$\frac{△{t}_{1}}{T}=\frac{△θ}{2π}$
$△θ=\frac{π}{2}-\frac{π}{4}=\frac{π}{4}$
$△{t}_{1}=\frac{T}{8}$
所以$△{t}_{1}=\frac{π{l}_{0}}{4v}$
b在第二象限内无场区域的匀速运动时间为△t₂
$△{t}_{2}=\frac{r-rcos45°}{v}=\frac{（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）{l}_{0}}{v}$
ab在第一象限内运动的时间差为$△{t}_{3}=\frac{△x}{v}=\frac{{l}_{0}}{2v}$
所以时间差为$△t=△{t}_{1}+△{t}_{2}+△{t}_{3}=\frac{{l}_{0}}{4}（6-π-2\sqrt{2}）$
答：（1）磁场的磁感应强度B的大小$\frac{mv}{e{l}_{0}}$
（2）a、b两个电子经过电场后到达x轴的坐标差△x$\frac{{l}_{0}}{2}$
（3）a、b两个电子从P点运动到达x轴的时间差△t$\frac{{l}_{0}}{4}（6-π-2\sqrt{2}）$

点评 本题考查带电粒子在磁场和电场中的运动，要注意电子在磁场中做匀速圆周运动，在磁场中做平抛运动，要求正确利用好几何关系进行分析．