Question

11．如图所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度B=0.40T，OCA导轨OA直导轨分别在O点和A点接一阻值R₁=3.0Ω和R₂=6.0Ω几何尺寸可忽略的定值电阻．导轨OCA的曲线方程为y=1.0sin（$\frac{πx}{3}$）（m）．金属棒ab长1.5m．以速度v=5.0m/s水平向右匀速运动（b点始终在x轴上）．设金属棒与导轨接触良好，摩擦不计．电路中除了电阻R₁和R₂外．其余电阻均不计，曲线OCA与x轴之间所围面积约为1.9m2．求：
（1）金属棒在导轨上运动时R₁的最大功率；
（2）金属棒在导轨上运动从x=0到x=3m的过程中通过金属棒ab的电量；
（3）金属棒在导轨上运动从x=0到x=3m的过程中．外力必须做多少功？

Answer 1

分析 （1）由E=BLv求出感应电动势的最大值，然后求出电阻的最大功率．
（2）由法拉第电磁感应定律求出平均感应电动势，由欧姆定律求出感应电流，最后由电流的定义式求出电荷量．
（3）金属棒运动过程产生的电流为正弦式交变电流，求出感应电动势的有效值，然后求出外力做功．

解答 解：（1）当x=1.5m时金属棒切割磁感线的有效长度最大，为：L=1m，
感应电动势的最大值：E_m=BLv=0.4×1×5=2V，
电阻R₁的最大功率：P₁=$\frac{{E}_{m}^{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{{2}^{2}}{3}$=$\frac{4}{3}$W；
（2）整个过程，平均感应电动势：$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{BS}{△t}$，
两电阻并联，并联总电阻：R=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{3×6}{3+6}$=2Ω，
感应电流：I=$\frac{\overline{E}}{R}$，电荷量：q=I△t=$\frac{BS}{R}$=$\frac{0.4×1.9}{2}$=0.38C；
（3）金属棒运动过程切割磁感线产生感应电动势，
由于金属棒切割磁感线的有效长度按正弦规律变化，
产生正弦时交流电，交流电电动势的有效值：E=$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$V，
金属棒做匀速直线运动，外力做功转化为焦耳热，
外力做功：W=Q=$\frac{{E}^{2}}{R}$t=$\frac{{E}^{2}}{R}$×$\frac{x}{v}$=$\frac{（\sqrt{2}）^{2}}{2}$×$\frac{3}{5}$=0.6J；
答：（1）金属棒在导轨上运动时R₁的最大功率为$\frac{4}{3}$W；
（2）金属棒在导轨上运动从x=0到x=3m的过程中通过金属棒ab的电量为0.38C；
（3）金属棒在导轨上运动从x=0到x=3m的过程中．外力必须做了0.6J的功．

点评 本题考查了求功率的最大值、求电荷量、求功，分析清楚金属棒的运动过程是解题的关键；本题中导线的有效切割长度随时间作正弦规律变化，产生正弦式交变电流，提供了一种产生正弦式交变电流的一种方式．