Question

12．如图所示，斜面体固定在水平地面上，斜面光滑，倾角为θ，斜面底端固定有与斜面垂直的挡板，木板下端离地面高H，上端放着一个小物块．木板和小物块的质量均为m，相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，大小为kmgsinθ（k＞1），断开轻绳，木板和小物块一起沿斜面下滑．假设木板足够长，与挡板发生碰撞时，时间极短，无动能损失，空气阻力不计．求：
（1）木板第一次与挡板碰撞后，沿斜面上升的过程中，小物块的加速度；
（2）从断开轻绳到木板与挡板第二次碰撞的过程中，木板运动的路程s；
（3）木板与挡板第二次碰撞时的速度．

Answer 1

分析 （1）木板上升时，对物块受力分析，在沿斜面方向上由牛顿运动定律列式求解，便可求出物块的加速度．
（2）此题要分段进行计算，第一段是木板开始下落直至第一次与挡板碰撞的过程，由几何关系可求出此过程的路程为$\frac{H}{sinθ}$，第二段是从第一次与挡板碰撞到第一次运动到最高点，第三段是从最高点下落到第二次与挡板碰撞，后两段路程相同．可由牛顿运动定律和运动学公式求得．
（3）先求出二者相对静止时的速度和位移，再根据速度和位移关系求出木板与挡板第二次碰撞时的速度

解答 解：（1）设木板第一次上升过程中，物块的加速度为a_物块
物块受合力  F_物块=kmgsinθ-mgsinθ
由牛顿第二定律 F_物块=ma_物块
联立解得  a_物块=（k-1）gsinθ，
方向沿斜面向上
（2）设以地面为零势能面，木板第一次与挡板碰撞时的速度大小为v₁
由机械能守恒得：
$\frac{1}{2}$×2mv₁²=2mgH
解得：v₁=$\sqrt{2gH}$
设木板弹起后的加速度a板 由牛顿第二定律 a_板=-（k+1）gsinθ
木板第一次弹起的最大路程S₁=$\frac{-{v}_{1}^{2}}{2{a}_{板}}$  
解得 
S₁=$\frac{H}{（k+1）sinθ}$
木板运动的路程  S=$\frac{H}{sinθ}$+2S₁$\frac{（k+3）H}{（k+1）sinθ}$
（3）设经时间t'木板与物块速度相同
则有v₀-（k-1）gsinθt′=-v₀+（k+1）gsinθt'
解得：t'=$\frac{{v}_{0}}{kgsinθ}$        
这时物块的速度v'=v₀-（k-1）gsinθt'=$\frac{{v}_{0}}{k}$
这过程中木板的位移
x=$\frac{v{′}^{2}-{v}_{0}^{2}}{-2（k+1）gsinθ}$=$\frac{{v}_{0}^{2}（k-1）}{2gsinθ{k}^{2}}$
根据位移和速度关系可得：
v₂²-v'²=2gsinθx
解得木板与挡板第二次碰撞时的速度为v₂=$\frac{{v}_{0}}{k}$=$\sqrt{\frac{2gH}{k}}$
答：（1）木板第一次与挡板碰撞后，沿斜面上升的过程中，小物块的加速度为（k-1）gsinθ，
（2）从断开轻绳到木板与挡板第二次碰撞的过程中，木板运动的路程s为$\frac{H}{sinθ}$+2S₁$\frac{（k+3）H}{（k+1）sinθ}$；
（3）木板与挡板第二次碰撞时的速度为$\sqrt{\frac{2gH}{k}}$

点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律以及共点力平衡条件的应用，要注意正确分析物理过程，正确受力分析，再正确选择物理规律求解即可．