Question

如图所示，建立xOy坐标系．在第二、第三象限有电场强度为E的匀强电场，方向沿y轴负方向，电场区域宽度为mv₀²/qE；在第一、四象限有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里，图中右侧虚线为磁场区域的右边界．现有一质量为m，电荷量为-q的带电粒子从电场中坐标位置（-mv₀²/qE，0）处，以初速度v₀沿x轴正方向开始运动，（重力不计），试求：
（1）使带电粒子不能穿越磁场区域，磁场区域的宽度d应满足条件；
（2）带电粒子最终离开电场时的坐标及动能．

Answer 1

分析：（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，根据动力学知识求出带电粒子进入磁场时的速度大小和方向，根据带电粒子在磁场中的半径公式以及几何关系求出磁场宽度满足的条件．
（2）带电粒子再次回到电场中的速度与进入磁场的速度对称，根据y方向上的运动规律结合运动学公式求出y方向上的位移，从而得出离开电场时的坐标，根据动能定理得出离开电场时的动能．

解答：解：（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，设运动的加速度为a，
由牛顿运动定律得：qE=ma
设粒子出电场、入磁场的速度大小为v，
此时在y轴方向的分速度为v_y，
粒子在电场中运动的时间为t，则x轴方向上有：

mv02

qE

=v0t
y轴方向上有：qE=ma，v_y=at
解得v_y=v₀，所以v=

v02+vy2

=

2

v0
设v的方向与y轴方向的夹角为θ，则有θ=45°．
粒子进入磁场后在洛伦兹力作用下做圆周运动，如图．
由牛顿第二定律得：qvB=

mv2

R

，可得：R=

mv

qB

由图中几何关系可知，要使粒子不穿越磁场区域．
磁场的宽度应满足的条件：d≥R（1+cosθ）
结合已知条件解以上各式得：d≥

(1+ 2 )mv0

qB

．
（2）第一次回到电场中，粒子在y方向上的位移为：
y1=

1

2

at2=

mv02

2qE

再一次回到电场中，粒子在y方向上的位移为：
y2=vyt+

1

2

at2=

3mv02

2qE

y=y₁-2Rcosθ+y₂，即y=

2mv02

qE

-

2mv0

qB

．
坐标为（

-mv02

qE

，

2mv02

qE

-

2mv0

qB

）
再一次回到电场中，粒子在电场力作用下运动，根据动能定理得：
qE(y1+y2)=EK-

1

2

mv02
即得EK=

5

2

mv02
答：（1）使带电粒子不能穿越磁场区域，磁场区域的宽度d应满足条件为：d≥

(1+ 2 )mv0

qB

．
（2）带电粒子最终离开电场时的坐标为（

-mv02

qE

，

2mv02

qE

-

2mv0

qB

），动能为EK=

5

2

mv02．

点评：本题考查带电粒子在复合场中的运动，综合性较强，对学生能力的要求较高，关键要理清带电粒子的运动规律．