Question

如图所示，在半径为R的圆周上的六个等分点分别为C、D、E、F、G、H，其中以D、E、G、H为圆心、R/4为半径的圆形区域有垂直纸面向里磁感应强度为B₀的匀强磁场，在圆周两侧关于O对称的位置有两单边界匀强磁场．其边界与HG所在直线垂直．一个质量为m电荷量为+q的离子（不计重力），由A点（A为HG的中点）沿AH飞进小圆形磁场，之后沿HC方向飞出．离子在几个磁场中飞进飞出做周期性运动，经历一个周期再次沿AH方向通过A点．

（1）求离子速度v₀的大小？
（2）为使离子在两侧磁场区做圆周运动的半径为

3

R/2，磁感应强度B₁的大小？两磁场边界的距离d为多少？
（3）在（2）问的条件下，离子完成一次周期性运动的时间T是多少？

Answer 1

分析：该题做出粒子运动的轨迹是解题的关键．通过作图可以看出，粒子在4个小圆磁场中的轨迹偏转角是60⁰，根据图中的关系，可以求出偏转半径R1，进而求出速度；在4个小圆磁场中的轨迹偏转角是60⁰，在两侧的偏转角是300⁰，代入周期与时间关系的公式，可以求出在磁场中 的时间两种时间；之外的空间中，粒子做匀速直线运动，代入公式x=vt，可以再求出两种时间，最后把所有的时间加在一起就是总时间．

解答：解：根据题意，粒子运动的轨迹（部分）如图：

（1）在B₀ 的磁场区域内，粒子的偏转角为60°，其偏转半径R1 为：R1=

R 4

tan300

=

3 R

4

该区域内，洛伦兹力提供向心力：qvoB0=

m v 2 0

R1

故：v0=

qB0R1

m

=

3 qB0R

4m

（2）在B₁ 的磁场区域内，粒子的偏转角为300⁰，如图，洛伦兹力提供向心力：qvoB1=

m v 2 0

R2

故：B1=

B0

2

由图可得边界到C点的距离：d′=R2sin300?sin300=

3 R

8

两磁场边界的距离d为：d=2R+2d′=(2+

3

2

)R
（3）粒子在B₀ 的磁场区域内的周期：T1=

2πm

qB0

粒子在B₀ 的磁场区域内的时间：t1=

θ

2π

T1=

πm

3

粒子在B₁ 的磁场区域内的周期：T2=

2πm

qB1

=

4πm

3qB0

粒子在B₁ 的磁场区域内的时间：t2=

θ′

2π

T2=

10πm

3qB0

粒子在两个磁场之间做匀速直线运动，距离：L=

3

4

R+R2Sin300=

3+ 3

4

R
粒子在两个磁场之间的运动时间：t3=

L

v0

=

(1+ 3 )m

qB0

D到E和F到G之间的没有磁场的区域时间均为：t4=

R

2v0

=

3 m

3qB0

粒子运动的总时间：t总=4t1+2t2+4t3+2t4=

24πm+12m+14 3 m

3qB0

答：（1）粒子的速度为：

3 qB0R

4m

；（2）B1=

B0

2

；两磁场边界的距离d为：(2+

3

2

)R；（3）粒子运动的总时间：

24πm+12m+14 3 m

3qB0

点评：该题考查带电粒子在磁场中的运动，属于该知识点中的基础方法的应用，由于该题涉及的过程较多，求时间的步骤较为复杂．该题属于难题．