Question

20．如图，AB是倾角为θ=37°的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R=3m，一个质量为m=1kg的物体（可以看作质点）从直轨道上的P点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动．已知P点与圆弧的圆心O等高，OB于竖直方向夹角也为θ，物体与轨道AB间的动摩擦因数为μ=0.5．（已知sin37°=0.6；cos37°=0.8）求：
（1）物体到达B点的速度大小v_B；
（2）若需要恰好到达D点，物体在P点的动能E_KP为多少；
（3）在（1）中物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程S．

Answer 1

分析 （1）物体由P到B，重力和摩擦力做功，根据动能定理求物体到达B点的速度大小v_B；
（2）物体恰好到达D点时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出D点的速度，再由动能定理求物体在P点的动能E_KP；
（3）因为摩擦在斜面上始终对物体做负功，所以物体最终在圆心角为2θ的圆弧上往复运动，到达B点的速度为零，对整体过程运用动能定理求物体在AB轨道上通过的总路程S．

解答 解：（1）由P到B，由动能定理得：
 $mgsinθ{S_{PB}}-μmgcosθ{S_{PB}}=\frac{1}{2}m{v_B}^2$
又 ${S_{PB}}=\frac{R}{tanθ}=4m$
解得：v_B=2m/s
（2）能恰好到达D点最小速度v_D
由牛顿第二定律有：$mg=m\frac{{{v_D}^2}}{R}$
从P点到D点，由动能定理得：
$-μmgcosθ{S_{PB}}-mgR=\frac{1}{2}m{v_D}^2-{E_{KP}}$
解得：E_KP=61J
（3）因为摩擦在斜面上始终对物体做负功，所以物体最终在圆心角为2θ的圆弧上往复运动，到达B点的速度为零
对整体过程由动能定理得：mgRcosθ-μmgcosθS=0
所以总路程为：$S=\frac{R}{μ}=6m$
答：（1）物体到达B点的速度大小v_B是2m/s．
（2）若需要恰好到达D点，物体在P点的动能E_KP为61J．
（3）在（1）中物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程S是6m．

点评 本题综合应用了动能定理、圆周运动向心力及圆周运动中能过最高点的条件，要明确滑动摩擦力做功与总路程有关．