Question

11．如题图所示，在无限长的竖直边界NS和MT间充满匀强电场，同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，距KL高h处分别有P、Q两点，NS和MT间距为1.8h，质量为m，带电荷量为+q的粒子从P点垂直于NS边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为g．
（1）求电场强度的大小和方向．
（2）要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值．
（3）若粒子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，电场力与重力合力为零；
（2）作出粒子的运动轨迹，由牛顿第二定律与数学知识求出粒子的速度；
（3）作出粒子运动轨迹，应用几何知识求出粒子的速度．

解答 解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，
电场力与重力合力为零，即mg=qE，
解得：E=$\frac{mg}{q}$，电场力方向竖直向上，电场方向竖直向上；
（2）粒子运动轨迹如图所示：

设粒子不从NS边飞出的入射速度最小值为v_min，
对应的粒子在上、下区域的轨道半径分别为r₁、r₂，
圆心的连线与NS的夹角为φ，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得，粒子轨道半径：r=$\frac{mv}{qB}$，
r₂=$\frac{m{v}_{min}}{qB}$，r₂=$\frac{1}{2}$r₁，
由几何知识得：（r₁+r₂）sinφ=r₂，r₁+r₁cosφ=h，
解得：v_min=（9-6$\sqrt{2}$）$\frac{qBh}{m}$；
（3）粒子运动轨迹如图所示，

设粒子入射速度为v，
粒子在上、下区域的轨道半径分别为r₁、r₂，
粒子第一次通过KL时距离K点为x，
由题意可知：3nx=1.8h  （n=1、2、3…）
$\frac{3}{2}$x≥$\frac{（9-6\sqrt{2}）h}{2}$，x=$\sqrt{{r}_{1}^{2}-（h-{r}_{1}）^{2}}$，
解得：r₁=（1+$\frac{0.36}{{n}^{2}}$）$\frac{h}{2}$，n＜3.5，
即：n=1时，v=$\frac{0.68qBh}{m}$，
n=2时，v=$\frac{0.545qBh}{m}$，
n=3时，v=$\frac{0.52qBh}{m}$；
答：（1）电场强度的大小为$\frac{mg}{q}$，电场方向竖直向上；
（2）要使粒子不从NS边界飞出，粒子入射速度的最小值为（9-6$\sqrt{2}$）$\frac{qBh}{m}$．
（3）若粒子经过Q点从MT边界飞出，粒子入射速度的所有可能值为：$\frac{0.68qBh}{m}$、或$\frac{0.545qBh}{m}$、或$\frac{0.52qBh}{m}$．

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹是正确解题的前提与关键，应用平衡条件、牛顿第二定律即可正确解题，解题时注意数学知识的应用．